Tipo: Optativa, Carácter: Cuatrimestral, Curso: 5º, Créditos: 6 (3T+3P)

 Profesor: José Luis Romero
 

Justificación de la asignatura y objetivos del curso

El propósito fundamental de esta asignatura es formar al alumno de Ingeniería Informática, en la metodología de la modelización numérica con elementos finitos. Los modelos numéricos han llegado a ser una de las herramientas esenciales en el tratamiento de los problemas que surgen en la mayoría de los campos de la ciencia y la ingeniería y especialmente dentro de la Informática Científico-Técnica.

Hay que tener en cuenta que algunas de las etapas del desarrollo de un producto software dentro del amplio campo de las aplicaciones ingenieriles, están constituidas precisamente por la modelización y simulación numérica de los distintos problemas presentes en dichas aplicaciones, por lo que un cierto entendimiento de las mismas es primordial para poder garantizar el éxito de la implementación de los procedimientos de cálculo y de la visualización de datos y resultados, entre otros aspectos. Con esta formación más amplia y global, el ingeniero informático puede contribuir notablemente al desarrollo de un software científico-técnico de calidad, cada vez más demandado en las ingenierías propias de los medios continuos: naval, aeronáutica, industrial, civil, etc. y en otras multiples áreas de las ciencias aplicadas: biomecánica, medio ambiente, geofísica, etc.

 Por otro lado la técnica de elementos finitos, como metodología de discretización de problemas continuos, ha llegado a ser una poderosa herramienta en la resolución de un amplio rango de problemas de ingeniería. Las aplicaciónes de dicha técnica incluyen, por citar algunos campos, el estudio de los flujos de calor, de fluidos, eléctricos, magnéticos, de filtraciones en medios porosos y el análisis del comportamiento de estructuras de automóviles, aviones, puentes, edificios, etc., sometidas a acciones estáticas o dinámicas (impactos, vibraciones, seismos).

 La idea básica del método de elementos finitos, originada en el campo de la ingeniería aeronáutica, consiste en que una región, donde se define un problema de medio continuo, es discretizada en otras regiones más pequeñas con formas geométricas sencillas llamadas elementos finitos. Las acciones sobre el medio continuo, las propiedades de los materiales que lo componen, y las relaciones que definen el comportamiento de dicho medio continuo, son consideradas sobre puntos determinados (nodos) de los elementos finitos, dando lugar a unas ecuaciones que tras un proceso de ensamblaje permiten pasar a un problema discreto (modelo numérico o computacional), el cual una vez resuelto da una idea muy aproximada e intuitiva del comportamiento del problema continuo.

 Finalmente en cuanto a los objetivos del curso indicamos que el alumno debe adquirir una visión global del proceso de modelización numérica, que le permita en primer lugar, formular modelos para diferentes problemas ingenieriles de medios continuos relacionados con el análisis de flujos y con la mécanica de sólidos (deformables) y fluidos. En segundo lugar, discretizar dichos modelos con la técnica de elementos finitos. Por último, implementar en algún código de programación (C, Fortran, etc.) los distintos algoritmos en que puede descomponerse el proceso de resolución. En resumen, el alumno al finalizar el curso debe estar en condiciones de poder abordar el desarrollo de una herremienta software orientada al campo de la computación científica.

 A continuación se describen de manera detallada los contenidos de cada uno de los módulos en los que se ha dividido el curso con indicación de la duración estimada de cada uno de ellos. Dichos contenidos se han concretado a partir de la experiencia de varios años impartiendo cursos de doctorado, y especialmente seminarios para la realización del Trabajo Fin de Carrera, en este campo de la modelización con elementos finitos, a los alumnos de la Facultad de Informática.

 Contenido del curso

1. INTRODUCCIÓN AL ESTUDIO DE LAS ECUACIONES BÁSICAS DE LOS SISTEMAS MACROSCÓPICOS Y A LA METODOLOGÍA DE DISCRETIZACIÓN NUMÉRICA. (Duración: 2 semanas aprox.).

• Concepto de medio continuo.
• Modelos continuos. Consideración de las relaciones cinemáticas, de las leyes de conservación y de las ecuaciones constitutivas en la construcción de modelos continuos.
• El problema de la discretización. Métodos de diferencias finitas y de elementos finitos.
• Algunos problemas continuos y su clasificación: Problemas de valor inicial, de contorno y mixtos.
• Técnicas diferenciales y variacionales en el proceso de modelización. Comparación de ambas técnicas.
• Ejemplos sobre modelización en medios continuos: transmisión de calor y problemas estáticos y dinámicos en solidos y fluidos.
• Ejercicios propuestos: 1) De carácter conceptual. 2) De carácter computacional.

1. MODELOS DISCRETOS. METODOLOGÍA MATRICIAL EN EL ANÁLISIS DE SISTEMAS DISCRETOS. (Duración: 2 semanas aprox.).

• Modelos discretos a priori. Antecedentes de la metodología de elementos finitos.
• Construcción de modelos discretos a partir de ecuaciones de equilibrio elementales.
• Proceso de ensamblado e interpretación física. Ecuación de equilibrio global. Consideración de las condiciones de contorno.
• Condensación nodal y subestructuración.
• Aplicaciones en el análisis de redes: Ejemplos en transmisión de calor y redes de tuberías.
• Introducción al análisis matricial de estructuras.
• Ejercicios propuestos: 1) De carácter conceptual. 2) De carácter computacional.

1. ANÁLISIS DE PROBLEMAS DE FLUJO MEDIANTE ELEMENTOS FINITOS. (Duración: 3 semanas aprox.)

• Problemas de análisis de flujo en ingeniería. Casos unidimensionales y multidimensionales.
• Formulación débil de los problemas. Ventajas de la formulación débil.
• Discretización de la formulación débil mediante elementos finitos.
• Tipos de elementos y familias de funciones de interpolación.
• Matriz de rigidez, acciones nodales equivalentes y acciones nodales de equilibrio del elemento.
• Proceso de ensamblado para la formación del sistema global y consideración de las condiciones de contorno.
• El problema de la numeración de los nodos. Ancho de banda y costo computacional.
• Estructura de un programa de ordenador de elementos finitos.
• Aplicación: Flujo de fluidos en medios porosos.
• Introducción a los problemas de flujo dependientes del tiempo.
• Ejercicios propuestos: 1) De carácter conceptual. 2) De carácter computacional.

1. ANÁLISIS DE PROBLEMAS DE MECÁNICA DE SOLIDOS Y FLUIDOS CON ELEMENTOS FINITOS. (Duración: 5 semanas aprox.)

• El problema elástico. Tensión, deformación y desplazamientos en un sólido elástico.
• Elasticidad lineal. Ecuaciones fundamentales de la mecánica de sólidos.
• Formulación de problemas bidimensionales y tridimensionales de elasticidad con elementos finitos.
• Aplicación: Análisis de una presa de gravedad.
• Introducción a los problemas dinámicos en mecánica de sólidos.
• Ecuaciones básicas de la mecánica de fluidos Newtonianos.
• Ecuaciones de Navier-Stokes. Condiciones iniciales y de contorno.
• Introducción a la resolución aproximada de la ecuación de Navier-Stokes mediante elementos finitos. Casos estacionario y dependiente del tiempo.
• Ejercicios propuestos: 1) De carácter conceptual. 2) De carácter computacional.

En las clases además de desarrollar los contenidos teóricos de cada tema se realizarán ejercicios prácticos relacionados con diferentes aplicaciones del método de elementos finitos, lo que motivará y facilitará la resolución de los ejercicios propuestos.

Se realizará una prueba liberatoria a mediados del cuatrimestre y un examen final que representarán el 50% de la calificación. El otro 50% se obtendrá a partir de la valoración de los ejercicios entregados y correctamente realizados a lo largo del curso.

Los ejercicios los dividimos en dos tipos que denominamos de carácter conceptual y de carácter computacional. Los primeros, de planteamiento más académico, pretenden fijar los fundamentos y conceptos básicos de mayor interés a través de pequeños desarrollos teóricos. Los segundos consisten en la elaboración de pequeñas subrutinas o módulos de programas, y tienen estructura de práctica aunque de tamaño muy reducido. De ellos se propondrán no más de cuatro a lo largo del curso.

El alumno podrá realizar voluntariamente un trabajo adicional que permitirá incrementar la calificación final hasta un máximo de 2.5 puntos. Dicho trabajo podrá constituir el núcleo de un posible Trabajo Fin de Carrera en el campo de la modelización numérica y los elementos finitos. Para esta tarea los alumnos podrán utilizar como material de apoyo algunos de los trabajos (TFC) que sobre dicha materia hemos dirigido en esta Facultad de Informática en los últimos años.

Bibliografía

Hay una extensa bibliografía sobre la materia objeto de esta asignatura. Citamos a continuación algunos de los textos que consideramos de mayor interés en relación con los objetivos del curso.

ALLEN III, M. B., HERRERA, I. y PINDER, G. F.: Numerical Modeling in Science and Engineering, John Wiley & Sons, 1988.

OTTOSEN, N. S. y PETERSSON, H.: Introduction to the Finite Element Method, Prentice Hall, 1992.

ZIENKIEWICZ, O. C. y TAYLOR, R. L.: El Método de los Elementos Finitos. Vol. 1: Formulación Básica y Problemas Lineales, Mc Graw Hill CIMNE, Barcelona, 1994.

CHANDRUPATLA, T. R. y BELEGUNDU, A. D.: Introducción al Estudio del Elemento Finito en Ingeniería, Prentice Hall,1999

SZABO, B. y BABUSKA, I.: Finite Element Analysis, Prentice Hall, 1973.

BECKER, E. B., CAREY, G. F. y ODEN, J. T.: Finite Elements: An Introduction, Prentice Hall, 1981.

CAREY, G. F. y ODEN, J. T.: Finite Elements: A Second Course, Prentice Hall, 1983.

CAREY, G. F. y ODEN, J. T.: Finite Elements: Computational Aspects, Prentice Hall, 1984.

HINTON, E. y OWEN, D. R. J.: An Introduction to the Finite Element Computations, Academic Press, 1978.

HUGHES, T. J. R.: The Finite Element Method. Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis, Prentice Hall, 1987.