{VERSION 3 0 "IBM INTEL NT" "3.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "2D Output" 2 20 "" 0 1 0 0 255 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE " LaTeX" -1 32 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 256 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 263 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 1" 0 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }1 0 0 0 8 4 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "M aple Output" 0 11 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 3 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Maple Plot" 0 13 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Title" 0 18 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 12 12 0 0 0 0 0 0 19 0 }{PSTYLE "" 0 256 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 257 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 258 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {PARA 18 "" 0 "" {TEXT 32 81 "Resoluci\363n aproximada de prob lemas de valor inicial utilizando m\351todos de un paso" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 80 "Resoluci\363 n aproximada utilizando \"foreuler\". Comparaci\363n con la soluci\363 n exacta " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 196 "Definimo s la ecuaci\363n diferencial (n\363tese que, aunque se trata de ecuaci ones diferenciales ordinarias, la notaci\363n utilizada en MAPLE coinc ide con la usual para ecuaciones en derivadas parciales):" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "primera:= diff(y(x),x)=2*x*y(x):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "primera;" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/-%%diffG6 $-%\"yG6#%\"xGF*,$*&F*\"\"\"F'F-\"\"#" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 23 "y la condici\363n inicial:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "x0:=0; y0:=1; " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#x0G\"\"! " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#y0G\"\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 91 "Si utilizamos la \+ funci\363n propia del MAPLE para resolver ecuaciones diferenciales, ob tenemos" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "dsolve(primera);" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/-%\"yG6#%\"xG*&%$_C1G\"\"\"-%$expG6#* $)F'\"\"#\"\"\"F*" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 107 "Para determinar la constante anterior y obtener l a soluci\363n que verifica nuestra condici\363n inicial hacemos:" } {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "solucion1:=dsolve(\{primera,y(x0) =y0\},y(x));" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%*solucion1G/-%\"yG6# %\"xG-%$expG6#*$)F)\"\"#\"\"\"" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 343 "El problema es que no sabemos qu\351 m\351todo se ha utilizado para obtener estas soluciones. Es posible i ncluir opciones para, por ejemplo, resolver la ecuaci\363n por un m \351todo num\351rico de Euler (o algunos otros). Para ello, en primer \+ lugar determinamos el intervalo en el que buscamos la soluci\363n. Fij amos el \355nfimo de dicho intervalo como el punto " }{XPPEDIT 18 0 "x [0];" "6#&%\"xG6#\"\"!" }{TEXT -1 108 " en el que damos el valor inici al, y definimos el supremo del intervalo a partir de su longitud. Si \+ \351sta es " }{XPPEDIT 18 0 "a;" "6#%\"aG" }{TEXT -1 44 ", con la nota ci\363n de clase, el intervalo es " }{XPPEDIT 18 0 "[x[0], x[0]+a];" " 6#7$&%\"xG6#\"\"!,&&F%6#F'\"\"\"%\"aGF+" }{TEXT -1 9 ". Siendo " } {XPPEDIT 18 0 "N+1;" "6#,&%\"NG\"\"\"\"\"\"F%" }{TEXT -1 83 " el n\372 mero de puntos de la partici\363n, en los que se busca la aproximaci \363n, tenemos:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "N:=20; a:=2; h:=a/N; " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 38 "(Otra forma de trabajar ser\355a dejando " }{XPPEDIT 18 0 "a;" "6#%\"aG" }{TEXT -1 15 " libre y dando " }{XPPEDIT 18 0 "h;" "6 #%\"hG" }{TEXT -1 3 " y " }{XPPEDIT 18 0 "N;" "6#%\"NG" }{TEXT -1 2 ". )" }{MPLTEXT 1 0 1 " " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"NG\"#?" } }{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"aG\"\"#" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"hG#\"\"\"\"#5" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 71 "Definimos la condici\363n inicial \+ del problema a partir del valor inicial " }{XPPEDIT 18 0 "y[0];" "6#&% \"yG6#\"\"!" }{TEXT -1 9 " ya dado:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "ini:=y(0)=y0;" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 72 "y obtenemos la soluci\363n por un m\351todo de Euler ya i mplementado en MAPLE:" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 79 "solucion2:=dsolve(\{primera,ini\},y(x),type=numeric, \+ method=classical[foreuler]);" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "La aproximaci\363n, por ejemplo, en " }{TEXT 259 3 "0.1" }{TEXT -1 5 ", es:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "s olucion2(.1);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$iniG/-%\"yG6#\"\"! \"\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%*solucion2GR6#%,x_classica lG6)%\"iG%#_sG%#stG%#enG%)outpointG%#r1G%#r2G6#%aoCopyright~(c)~1993~b y~the~University~of~Waterloo.~All~rights~reserved.G6\"C'>8(-%&evalfG6# 9$@$52-%$absG6#,$F5!\"\"-F>6#,&&%,loc_controlG6#\"\"#\"\"\"F5FA30%*cla ssicalG.FL2&FF6#\"\"(\"\"!>FF-%%copyG6#=F26#;FI\"\"*E\\[l*FHFR\"\"$FRF IFIFZ$FIFR\"\"%$\"\"&!\"$\"\"'FRFjn\"&++&FQFR\"\")FI@$0F=FRC$>&FF6#Ffn F5@%1%'DigitsG-%'evalhfG6#FgoC$>8%-%*traperrorG6#-Fio6#-%Adsolve/numer ic_solnall_classicalG6%%&loc_FG-%$varG6#FFFR@$/F]p%*lasterrorGC%>8)-%+ searchtextG6$.Fio-%(convertG6$-%#opG6$FI7#F]p%%nameG>8*-Faq6$.%)hardwa reGFdq@%50F_qFR0F]rFR-Fdp6%FfpFFFR-%&ERRORG6#F]pFfr@)/FLFMC$>8&FZ>8'FZ 5/FL.%%gearG/FL.%&mgearGC$>F_s\"#6>FasF[t/FL.%&lsodeGC$>F_sF^o>FasF^o- Fir6#%Cillegal~_method~in~solnlist_othersG7$/%\"xGF9-%$seqG6$/&%$ordG6 #,(8$FIF_sFAFHFI&FF6#Fau/Fau;F_sFasF2FipF2" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#7$/%\"xG$\"\"\"!\"\"/-%\"yG6#F%$\"1&G(y_@a45!#:" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "La soluci\363n aproximada en forma de vector se expresa como sigue:" } {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT -1 38 "Definimos la partici\363n del intervalo: \+ " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "for n from 1 to N do x[n]:=x0+h*n; od:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 54 "Definimos el vector a partir de la soluci \363n obtenida: " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "g:=i->solucion2(x[i]);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "v:=ve ctor(N,g):" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"gGR6# %\"iG6\"6$%)operatorG%&arrowGF(-%*solucion2G6#&%\"xG6#9$F(F(F(" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 27 "Ca da componente del vector " }{XPPEDIT 18 0 "v;" "6#%\"vG" }{TEXT -1 138 " tiene dos coordenadas, con las que se indican los puntos de la c orrespondiente poligonal. sustituimos la segunda de estas coordenadas \+ en " }{XPPEDIT 18 0 "y(x);" "6#-%\"yG6#%\"xG" }{TEXT -1 1 ":" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "for i fr om 1 to N do sol2[i]:=subs(v[i][2],y(x)); od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "sol2[3]; #(comprobaci\363n)" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol2G6#\"\"\"$\"1&G(y_@a45!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol2G6#\"\"#$\"1&%%sol2G6#\"\"$$\"1i1j:&QC4\"!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol2G6#\"\"%$\"1I,vA:#4<\"!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol2G6#\"\"&$\"1ql;x]H!G\"!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol2G6#\"\"'$\"1O#pK&%%sol2G6#\"\"($\"1x&%%sol2G6#\"\")$\"1&\\yv(=t&)=!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol2G6#\"\"*$\"1>d&%%sol2G6#\"#5$\"1\">?A5Nep#!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol2G6#\"#6$\"1k=&yD20K$!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol2G6#\"#7$\"1cP!Q1V;<%!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol2G6#\"#8$\"1tWnApbX`!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol2G6#\"#9$\"1F1d0%*R')p!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol2G6#\"#:$\"19L`Y\\z7$*!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol2G6#\"#;$\"17w(z]*3m7!#9" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol2G6#\"#<$\"19e^G*)[b&%%sol2G6#\"#=$\"1DP![H0C[#!#9" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol2G6#\"#>$\"1^&f%=M(*zN!#9" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol2G6#\"#?$\"1fl4$y`^E&!#9" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#$\"1i1j:&QC4\"!#:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 196 "Dibujamos la gr\341fica de la pol igonal obtenida como soluci\363n aproximada, compar\341ndola con la ex acta obtenida anteriormente (utilizamos puntos para mayor claridad, en lugar de dibujar la poligonal):" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "for n from 1 to N do par[n]:=[x[n],sol2[n]]; od:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 90 "plot([exp(x^2),[seq(par[n],n=1..N)]],x=x[1]..x[N ], style=[line,point],color=[red, black]);" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " } {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 390 293 293 {PLOTDATA 2 "6&-%'CURVESG6%7W7$$\"1+++++++5!#;$\"1oT3n,055!#:7$$\"1nm;Hf999F*$\" 1f]Z)Q*>?5F-7$$\"1L$3x3#\\u.\"F-7$$\"1nmTI!R(z@F*$\"1-U kP%f'[5F-7$$\"1nm\"H@swe#F*$\"1a#3\\@`#p5F-7$$\"1L$3-cmO*HF*$\"1\\R@3! fP4\"F-7$$\"1m;/\"Hv+P$F*$\"1&[8)p[F?6F-7$$\"1+]PHZ#)fPF*$\"1h+i$[U=: \"F-7$$\"1n;/cT!H;%F*$\"1y+D&4?#*=\"F-7$$\"1**\\(=!4pkXF*$\"1\\I.]9mJ7 F-7$$\"1ML$e&z(z(\\F*$\"1f<*\\027G\"F-7$$\"1mm\"zT,?M&F*$\"1sVt`QDI8F- 7$$\"1++]pF*$\"1D!=>LDUh\"F-7$$\" 1LL$esH\"[tF*$\"1zPgV7#fr\"F-7$$\"1LLL.e'3r(F*$\"1/rV!pfA\"=F-7$$\"1** \\P%49G8)F*$\"1W!3wdav$>F-7$$\"1LLLG)4j])F*$\"1=d4spyh?F-7$$\"1**\\PWQ 4;*)F*$\"1DYSt&oV@#F-7$$\"1+]7L^I1$*F*$\"1xYK(>cvP#F-7$$\"1LL3x'\\Mr*F *$\"1og4Ha)*oDF-7$$\"1L3_YNt35F-$\"12n%fS!RmFF-7$$\"1n;zz@1\\5F-$\"1s/ bLIw0IF-7$$\"1nTg&H_44\"F-$\"1X?e!yiwG$F-7$$\"1+DckxTF6F-$\"1]8(>inYc$ F-7$$\"1n;/q9!o;\"F-$\"1lR2^>v,RF-7$$\"1++]\"p)[27F-$\"1;!*=$e![(H%F-7 $$\"1+]()*>$HZ7F-$\"1a!4HL$fQZF-7$$\"1+vV3h!eG\"F-$\"1'zx=RxTA&F-7$$\" 1+]7F\"o&G8F-$\"1HYnX9F-$\"14\\+AcWt!)F-7$$\"1++vNV$e[ \"F-$\"1p(pdu2[4*F-7$$\"1L3xia2C:F-$\"1/k4^nU?5!#97$$\"1+v=f%[Sc\"F-$ \"1#[0!*Q%\\a6F\\w7$$\"1LLep$HJg\"F-$\"1(Hr#4Nh18F\\w7$$\"1+v$4YVSk\"F -$\"1g-vsIE#\\\"F\\w7$$\"1nmm$f[Mo\"F-$\"1gP\"\\UO8q\"F\\w7$$\"1n;HLgu BF\\w7$$\"1L3x*y4Pw\"F-$\"1&y**)R@hVAF\\w7$$\"1++]JBV +=F-$\"1-,`)z\\tb#F\\w7$$\"1L$e%30_U=F-$\"1')*H4.86)HF\\w7$$\"1+D1#fU8 '=F-$\"1IkWs^N'>$F\\w7$$\"1nmmvY;!)=F-$\"1JGjWtcHMF\\w7$$\"1$3_D%HB+>F -$\"1pUC)4z)*p$F\\w7$$\"1+vV47I?>F-$\"1TB/@Er%*RF\\w7$$\"1++],\"4&R>F- $\"10%*)f\"48-VF\\w7$$\"1+Dc$*pre>F-$\"1>4;EqiOYF\\w7$$\"1]7y'\\e$z>F- $\"1*462hq#H]F\\w7$$\"\"#\"\"!$\"1CWJ.]\")faF\\w-%'COLOURG6&%$RGBG$\"* ++++\"!\")F[\\lF[\\l-%&STYLEG6#%%LINEG-F$6%767$F($\"1&G(y_@a45F-7$$\"1 +++++++?F*$\"1d?A5Nep#F-7$$ \"1+++++++6F-$\"1k=&yD20K$F-7$$\"1+++++++7F-$\"1cP!Q1V;<%F-7$$\"1+++++ ++8F-$\"1tWnApbX`F-7$$\"1+++++++9F-$\"1F1d0%*R')pF-7$$\"1+++++++:F-$\" 19L`Y\\z7$*F-7$$\"1+++++++;F-$\"17w(z]*3m7F\\w7$$\"1+++++++F-$\"1^&f%=M(* zNF\\w7$Fi[l$\"1fl4$y`^E&F\\w-F_\\l6&Fa\\lF[\\lF[\\lF[\\l-Ff\\l6#%&POI NTG-%+AXESLABELSG6$Q\"x6\"%!G-%%VIEWG6$;$\"+++++5!#5Fi[l%(DEFAULTG" 1 2 0 1 0 2 9 1 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 }}}}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 40 "Resoluci\363n por el m\351todo de Euler b\341sico " }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 145 "Es muy sencillo implementar directamente el m\351todo de Euler es tudiado en teor\355a. En primer lugar, definimos la funci\363n que det ermina la ecuaci\363n:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "funcion:=proc(x,y) RETURN (2*x*y) end:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "funcion(x,y); " }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,$*&%\"xG\"\"\"%\"yGF&\"\"#" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 24 " Damos el valor inicial:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "y01:=y0;" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 52 "y damos el intervalo en el que se busca la soluci\363n:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "x01:=x0; h1:=h;" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$y01G\"\"\"" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$x01G\"\"!" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%#h1G# \"\"\"\"#5" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 37 "Definimos la partic i\363n del intervalo:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "for n from 1 to N do x1[n]:=x01+n*h1; od :" }}} {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 73 "De finimos de forma recurrente las sucesivas aproximaciones a la soluci \363n:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "#Digits=20;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "solucion3[1] :=y01; " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 87 "for n from 1 to N-1 do s olucion3[n+1]:=solucion3[n]+h1*funcion(x1[n],solucion3[n]); od:" }} {PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%*solucion3G6#\"\"\"F'" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 "Expresamo s los puntos en la misma forma que " }{XPPEDIT 18 0 "sol[2];" "6#&%$so lG6#\"\"#" }{TEXT -1 26 " (la segunda variable del " }{TEXT 260 7 "eva lf(." }{TEXT -1 69 ",.) se utiliza para indicar el n\372mero de d\355g itos de la aproximaci\363n):" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " } {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "sol3[1]:=evalf( solucion3[1],16);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 64 "for n from 1 t o N-1 do sol3[n+1]:=evalf(solucion3[n+1], 16); od;" }}{PARA 11 "" 1 " " {XPPMATH 20 "6#>&%%sol3G6#\"\"\"$F'\"\"!" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol3G6#\"\"#$\"1++++++?5!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol3G6#\"\"$$\"1+++++!31\"!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol3G6#\"\"%$\"1++++![W7\"!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol3G6#\"\"&$\"1+++SQS97!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol3G6#\"\"'$\"1+++CU%eL\"!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol3G6#\"\"($\"1++)3`Xh\\\"!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol3G6#\"\")$\"1+K?0fg0&%%sol3G6#\"\"*$\"17d.]G]y>!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol3G6#\"#5$\"1S@/jLjMB!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol3G6#\"#6$\"1o0lN+c,G!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol3G6#\"#7$\"1$p$\\VK!zT$!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol3G6#\"#8$\"1!=K>-+#QU!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol3G6#\"#9$\"1YXjF?8S`!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol3G6#\"#:$\"1>AP&**o`$o!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol3G6#\"#;$\"1&)Q)Rpzf)))!#:" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol3G6#\"#<$\"1teg>$\\H<\"!#9" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol3G6#\"#=$\"1q=F)3_&%%sol3G6#\"#>$\"1V(\\+%GeP@!#9" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>&%%sol3G6#\"#?$\"1X'o#>V')\\H!#9" }}}{EXCHG {PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 144 "Finalmente, dibujamos la gr\341fica de esta nueva aproximaci\363n, compar\341ndola con la soluci\363n exacta y con la p rimera aproximaci\363n que ya se obtuvo:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "for n fr om 1 to N do par2[n]:=[x1[n],sol3[n]]; od:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 126 "plot([exp(x^2),[seq(par[n],n=1..N)],[seq(par2[n],n=1 ..N)] ],x=x[1]..x[N], style=[line,point, point],color=[red, blue, blac k]);" }}{PARA 13 "" 1 "" {GLPLOT2D 354 266 266 {PLOTDATA 2 "6'-%'CURVE SG6%7W7$$\"1+++++++5!#;$\"1oT3n,055!#:7$$\"1nm;Hf999F*$\"1f]Z)Q*>?5F-7 $$\"1L$3x3#\\u.\"F-7$$\"1nmTI!R(z@F*$\"1-UkP%f'[5F-7$$ \"1nm\"H@swe#F*$\"1a#3\\@`#p5F-7$$\"1L$3-cmO*HF*$\"1\\R@3!fP4\"F-7$$\" 1m;/\"Hv+P$F*$\"1&[8)p[F?6F-7$$\"1+]PHZ#)fPF*$\"1h+i$[U=:\"F-7$$\"1n;/ cT!H;%F*$\"1y+D&4?#*=\"F-7$$\"1**\\(=!4pkXF*$\"1\\I.]9mJ7F-7$$\"1ML$e& z(z(\\F*$\"1f<*\\027G\"F-7$$\"1mm\"zT,?M&F*$\"1sVt`QDI8F-7$$\"1++]pF*$\"1D!=>LDUh\"F-7$$\"1LL$esH\"[tF* $\"1zPgV7#fr\"F-7$$\"1LLL.e'3r(F*$\"1/rV!pfA\"=F-7$$\"1**\\P%49G8)F*$ \"1W!3wdav$>F-7$$\"1LLLG)4j])F*$\"1=d4spyh?F-7$$\"1**\\PWQ4;*)F*$\"1DY St&oV@#F-7$$\"1+]7L^I1$*F*$\"1xYK(>cvP#F-7$$\"1LL3x'\\Mr*F*$\"1og4Ha)* oDF-7$$\"1L3_YNt35F-$\"12n%fS!RmFF-7$$\"1n;zz@1\\5F-$\"1s/bLIw0IF-7$$ \"1nTg&H_44\"F-$\"1X?e!yiwG$F-7$$\"1+DckxTF6F-$\"1]8(>inYc$F-7$$\"1n;/ q9!o;\"F-$\"1lR2^>v,RF-7$$\"1++]\"p)[27F-$\"1;!*=$e![(H%F-7$$\"1+]()*> $HZ7F-$\"1a!4HL$fQZF-7$$\"1+vV3h!eG\"F-$\"1'zx=RxTA&F-7$$\"1+]7F\"o&G8 F-$\"1HYnX9F-$\"14\\+AcWt!)F-7$$\"1++vNV$e[\"F-$\"1p(pd u2[4*F-7$$\"1L3xia2C:F-$\"1/k4^nU?5!#97$$\"1+v=f%[Sc\"F-$\"1#[0!*Q%\\a 6F\\w7$$\"1LLep$HJg\"F-$\"1(Hr#4Nh18F\\w7$$\"1+v$4YVSk\"F-$\"1g-vsIE# \\\"F\\w7$$\"1nmm$f[Mo\"F-$\"1gP\"\\UO8q\"F\\w7$$\"1n;HLguBF\\w7$$\"1L3x*y4Pw\"F-$\"1&y**)R@hVAF\\w7$$\"1++]JBV+=F-$\"1-,`) z\\tb#F\\w7$$\"1L$e%30_U=F-$\"1')*H4.86)HF\\w7$$\"1+D1#fU8'=F-$\"1IkWs ^N'>$F\\w7$$\"1nmmvY;!)=F-$\"1JGjWtcHMF\\w7$$\"1$3_D%HB+>F-$\"1pUC)4z) *p$F\\w7$$\"1+vV47I?>F-$\"1TB/@Er%*RF\\w7$$\"1++],\"4&R>F-$\"10%*)f\"4 8-VF\\w7$$\"1+Dc$*pre>F-$\"1>4;EqiOYF\\w7$$\"1]7y'\\e$z>F-$\"1*462hq#H ]F\\w7$$\"\"#\"\"!$\"1CWJ.]\")faF\\w-%'COLOURG6&%$RGBG$\"*++++\"!\")F[ \\lF[\\l-%&STYLEG6#%%LINEG-F$6%767$F($\"1&G(y_@a45F-7$$\"1+++++++?F*$ \"1d?A5Nep#F-7$$\"1+++++++6F -$\"1k=&yD20K$F-7$$\"1+++++++7F-$\"1cP!Q1V;<%F-7$$\"1+++++++8F-$\"1tWn ApbX`F-7$$\"1+++++++9F-$\"1F1d0%*R')pF-7$$\"1+++++++:F-$\"19L`Y\\z7$*F -7$$\"1+++++++;F-$\"17w(z]*3m7F\\w7$$\"1+++++++F-$\"1^&f%=M(*zNF\\w7$Fi[l $\"1fl4$y`^E&F\\w-F_\\l6&Fa\\lF[\\lF[\\lFb\\l-Ff\\l6#%&POINTG-F$6%767$ F(Fh_l7$F`]l$\"1++++++?5F-7$Fe]l$\"1+++++!31\"F-7$Fj]l$\"1++++![W7\"F- 7$F_^l$\"1+++SQS97F-7$Fd^l$\"1+++CU%eL\"F-7$Fi^l$\"1++)3`Xh\\\"F-7$F^_ l$\"1+K?0fg0F-7$Fh_l$\"1S@/jLjMBF-7$F]`l$\"1o0lN+ c,GF-7$Fb`l$\"1$p$\\VK!zT$F-7$Fg`l$\"1!=K>-+#QUF-7$F\\al$\"1YXjF?8S`F- 7$Faal$\"1>AP&**o`$oF-7$Ffal$\"1%)Q)Rpzf)))F-7$F[bl$\"1teg>$\\H<\"F\\w 7$F`bl$\"1q=F)3_V')\\HF \\w-F_\\l6&Fa\\lF[\\lF[\\lF[\\lF^cl-%+AXESLABELSG6$Q\"x6\"%!G-%%VIEWG6 $;$\"+++++5!#5Fi[l%(DEFAULTG" 1 2 0 1 0 2 9 1 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 }}}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 25 "Conclusiones y ejercicios" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 187 "Claramente, la nueva sol uci\363n obtenida es peor que la anterior; deducimos que el m\351todo \+ de Euler que utilizamos en primer lugar no es este \372ltimo, sino una modificaci\363n de orden superior." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 44 "Como ejercicios, se proponen los siguien tes:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 142 " 1.- Modificar los valores de los par\341metros que intervienen en las \+ aproximaciones obtenidas. Analizar y comentar las diferencias encontra das. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 196 "2.- Concretamente, para el m\351todo de Euler que hemos implementado, comparar gr\341ficamente varias soluciones aproximadas variando la pa rtici\363n del intervalo (esto es, tomando distintos valores para " } {XPPEDIT 18 0 "h;" "6#%\"hG" }{TEXT -1 2 ")." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "3.- Aplicar los m\351todos anal izados a la resoluci\363n de problemas de valor inicial propuestos en \+ la " }{TEXT 261 19 "\"hoja de problemas\"" }{TEXT -1 113 " correspondi ente al tema de ecuaciones diferenciales. Concretamente, obtener la so luci\363n aproximada del problema:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 " \+ " }{TEXT 256 13 "y''=max(x,y) " }}{PARA 256 "" 0 "" {TEXT -1 56 " y(0.5)=0" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 "para" }{TEXT 257 2 " x" }{TEXT -1 17 " en el intervalo " }{TEXT 258 11 "[-0.5,2.5] \+ " }{TEXT -1 73 "(problema resuelto en clase). Tomar diferentes partici ones del intervalo." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 77 "4.- Otros m\351todos num\351ricos utilizados en MAPLE p ara resolver ecuaciones son:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT 262 62 "foreuler, heunform, impoly, rk2, rk3, rk4, a dambash, abmoulton" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 110 "Resolver un problema de valor inicial utiliz\341ndolos ( por ejemplo, el propuesto aqu\355). Comparar los resultados." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 46 "5.- Implementar el m\351todo de Euler modificado:" }}{PARA 258 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "y[n+1] = y[n]+hf(x[n]+h/2,y[n]+f(x[n],y[n])*h/2)" "6#/&%\"yG6#,&%\"nG \"\"\"\"\"\"F),&&F%6#F(F)-%#hfG6$,&&%\"xG6#F(F)*&%\"hGF)\"\"#!\"\"F),& &F%6#F(F)*(-%\"fG6$&F36#F(&F%6#F(F)F6F)\"\"#F8F)F)" }{TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 30 "y compara r con los anteriores." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "6.- Implementar el m\351todo predictor-corrector propu esto en el problema 9 de la " }{TEXT 263 21 "\"hoja de problemas\". \+ " }{TEXT -1 43 "Resolver el apartado (c) de dicho problema." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "7.- Idem con el problema 14." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}}}{MARK "5 1 22 0" 46 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 }