{VERSION 3 0 "IBM INTEL LINUX" "3.0" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "Hyperlink" -1 17 "" 0 1 0 128 128 1 2 0 1 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "2D Comment" 2 18 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE " " -1 256 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 1" 0 3 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }1 0 0 0 8 4 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 2" 3 4 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 8 2 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Heading 3 " 4 5 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 12 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Maple Output" 0 11 1 {CSTYLE "" -1 -1 " " 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 3 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "Maple Plot" 0 13 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 39 " \+ LABORATORIO DE C\301LCULO NUM\311RICO" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }} {PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 8 " \+ " }}{PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 53 " Ejemplos de Ecuaciones Diferenci ales Ordinarias " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 " En esta pr\341ctica va mos a examinar diversos campos donde es preciso resolver diversos tipo s de " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 95 "ecuaciones diferenciales. Hoy no nos preocuparemos del m\351todo num\351rico usado en particular, ni \+ " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "siquiera nos plantearemos si la soluc i\363n que nos da es la \"buena\". De todo eso nos ocuparemos en " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "dias sucesivos, cuando estudiemos los dif erentes m\351todos, su error, orden, etc. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 74 " Empezamos reinicializando y \+ cargamos los paquetes de Maple que usaremos." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "restart;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "with(plots):with(DEtools):" }}}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 53 " Ecuaci \363n primer grado: Crecimiento de una poblaci\363n " }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 95 "Para estudiar el caso m \341s sencillo de ecuaci\363n diferencial (una sola ecuaci\363n de pri mer orden) " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 94 "podemos plantearnos el esc ribir y resolver la ecuaci\363n diferencial que rige el crecimiento de " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "una poblaci\363n de animales en un e cosistema. Una t\355pica ecuaci\363n es la siguiente:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "a:=0.2:ym ax:= 100:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "eq:= D(y)(t) = a*y(t)* (1-y(t)/ymax);" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 11 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 95 "El prime r t\351rmino de la derivada (en y(t)) nos indica que la poblaci\363n a umenta mas r\341pidamente " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 96 "si ya de po r si es alta. Si s\363lo tuviesemos ese t\351rmino, la poblaci\363n cr ecer\355a exponencialmente " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "sin l\355m ites. En la pr\341ctica eso no sucede porque los recursos disponibles \+ no son infinitos. Para " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 90 "reflejar esto \+ en la ecuaci\363n diferencial se introduce el segundo factor, que dism inuye el " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 68 "crecimiento si nos acercamos a un limite m\341ximo de poblaci\363n ymax. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 " El previsible comportami ento de la poblaci\363n puede adivinarse observando el campo de " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 95 "direcciones de la ecuaci\363n diferencial . La ecuaci\363n diferencial y'(t) = f(t,y) nos da un valor " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 91 "de la pendiente para cada situaci\363n en el pl ano (t,y). Un campo de direcciones consiste en " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 95 "pintar el plano (t,y) y en cada punto poner una flechita \+ cuya pendiente viene dada por f(t,y). " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "Como la soluci\363n debe cumplir la ecuaci\363n diferencial, debe " } {TEXT 256 8 "seguir " }{TEXT -1 17 "en cada punto la " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "direcci\363n marcada por la flecha. Resolver una ecu aci\363n diferencial consiste en colocarse " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 93 "en un punto dado (dado por las condiciones iniciales) y avanzar en la direcci\363n de la flecha " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 84 "adec uada. En cuanto nos movamos un poco veremos una flecha ligeramente dis tinta que " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "tambi\351n seguiremos y asi sucesivamente." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 61 "Contemplemos el campo de direcciones de la ecuaci\363n an terior:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 84 "dfieldplot(eq,[y(t)],t=0..20,y=0..1.2 *ymax,color=blue,title=`campo de direcciones`);" }{TEXT -1 0 "" }} {PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 90 "Veamos ahora como las diferentes solucion es obtenidas especificando distintas condiciones " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 24 "iniciales cumplen lo de " }{TEXT 257 7 "seguir " }{TEXT -1 64 "las flechas. El siguiente comando pinta el campo de direcciones " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 47 "y a continuaci\363n superpone divers as soluciones:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "# Condiciones iniciales \{[t0,y(t0)],...\}" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "ini:=\{[0 ,0] ,[0,20], [0,80], [0, \+ 100], [0,150]\}: " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "solcol=[red]: " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 127 "DEplot(eq,[y],t=0..20,ini,y=0. .160,dirgrid=[20,20],color=blue,linecolor=red,title=`campo de direccio nes y algunas soluciones`);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" } {TEXT -1 0 "" }}{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "La interpretacion de los \+ resultados anteriores es obvia: 0 y 100 son valores en equilibrio. " } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "Si partimos de una poblaci\363n menor qu e el l\355mite crecemos hasta llegar al m\341ximo. Si por " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "el contrario soltamos demasiados animales su n \372mero se reducir\341 hasta llegar a la m\341xima " }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 36 "cantidad que soporte el ecosistema. " }{MPLTEXT 1 0 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 84 "Veam os finalmente algunas otras ecuaciones diferenciales y sus respectivos campos de" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 12 "direccio nes:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "ini:=\{[0,0], [0,1], [0,-1]\}:" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "test1:=diff(y(t),t)=sqrt(t^2 + y(t) ^2);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 79 "DEplot(test1,[y],t=-4..4,in i,y=-4..4,dirgrid=[20,20],color=blue,linecolor=red);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "ini:=\{[0,0], [0,1], [0,-1], [0,0.5], [0,-0.5]\}:" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "test2:=diff(y(t),t)=t*sin(y);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 79 "DEplot(test2,[y],t=-4..4,ini,y=-4..4,dirgrid=[20,20],color=blue,li necolor=red);" }{TEXT 258 0 "" }{TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " } {MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 48 "Ecuaci\363n primer grado: Estabilidad/ Inestabilidad" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 259 38 "1.- El caso de una ecuaci\363n inestable." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "Empezamos con un eje mplo que ilustra como la soluci\363n de la ecuaci\363n diferencial ori ginal" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 90 " puede ser inherentemente inesta ble, ning\372n m\351todo num\351rico nos dar\341 soluciones aceptables " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 " en cualquier circunstancia. Sea:" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 " \+ y'(t) = y(t) + cos(t) \+ - sin(t). " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 91 "Se verifica f\341cilmente que la soluci\363n exacta es y(t) = A exp(t) + sin(t). Si imponemos como" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 " co ndici\363n inicial y(0)=0, la constante A debe anularse y la soluci \363n es y(t)=sin(t). " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "Sin embargo es f\341cil entender que la exp(t) que ' anda por ah\355 agazapada' nos va a traer " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 84 "problemas. En nuestro ejemplo hemos elegido el \372nico valor d e y(0) que anula la A. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "Por as\355 de cirlo, mientras nos movamos sobre la verdadera soluci\363n estamos a s alvo, pero " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "en el momento en que nos a partemos un poquito, ese error va a dar pie a que aparezca la " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 84 "exp(t) y evidentemente dicho t\351rmino t erminar\341 barriendo a la \"verdadera\" soluci\363n." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 90 " Vamos a comprobar que contra este tipo de situaciones inherentemente i nestables no podemos" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 14 " hacer mucho. " } {MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 74 "Lo \372nico que podemos esperar es que usando un h peque\361o y un m\351todo bueno " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "las cosas funcionen m\341s o menos durante un tiempo." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 93 " Para ent ender porque la soluci\363n siempre parece escaparse de la verdadera y (t)=sin(t) basta" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 66 " volver a pintar los campos de direcciones. Para nuestra ecuaci\363n:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "# Ec diferencial" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "ines:= diff(y(t),t) = y(t) + cos(t) - sin(t):" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "Digits:=6:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "t0:=0.0: tf:=6.0: y0:=0.0: " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "# Soluci\363n \+ \"verdadera\"" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "ok:=plot(sin(t),t= t0..tf,color=green,thickness=2):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 " " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "# Campo direcciones " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 70 "campo:=DEplot(ines,[y],t=t0..tf,y=-1.5..1 .5,color=blue,linecolor=red):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" } }{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "display(campo,ok);" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 100 "Se observa como todas las flechitas tien den a alejarnos de la curva sin(t). La situaci\363n es an\341loga " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "a ir trepando por una arista muy estrecha , donde apartarnos muy poco del camino podr\355a " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 94 "hacernos caer por un precipicio. Podemos comprobar la ine stabilidad pintando varias soluciones" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 " con condiciones iniciales muy parecidas en t=0. Para ello basta inclu ir el parametro ini como un " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 31 "argumento de la funci\363n DEplot:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 65 "ini:= \{[0,0.001],[0,-0.001],[0,0.01],[0,-0.01],[0,0.1], [0,-0.1]\}:" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 74 "campo:=DEplot(ines,[y],t=t0..tf,y=- 1.5..1.5,ini,color=blue,linecolor=red):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 73 "display(campo,ok,title=`campo de direcciones de una ecuaci\363 n inestable`);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 90 "Claramente s e observa que condiciones iniciales muy similares nos llevan a solucio nes muy " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 93 "distintas. Esto no quiere dec ir que el m\351todo num\351rico haga algo intrinsecamente \"perverso\" . " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "El m\351todo no hace m\341s que com portarse como lo har\355a un fen\363meno f\355sico que respondiese" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 93 " a una ecuaci\363n diferencial inestable. Es lo que se conoce como el efecto mariposa (el batido" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "de alas de una mariposa en Brasil puede terminar pro vocando un tif\363n en Bangladesh). " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "S istemas f\355sicos que respondan a ecuaciones diferenciales inestables son intrinsecamente" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "impredecibles y c ontradicen el ideal mecanicista del pasado siglo de que el pasado y e l" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "futuro est\341n deteminados conocien do la posici\363n y velocidad de cada particula del universo. " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 93 "Por muy alta que sea la precisi\363n de l os datos iniciales un sistema como el anterior siempre " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "termina desbarrando (y no sabemos cuando)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 5 "" 0 "" {TEXT -1 59 "2.- El caso contrario: una ecuaci\363n extremadament e estable." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" } {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 99 " Consideremos ahora una \+ ecuaci\363n muy similar pero de un comportamiento radicalmente distint o. Sea " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 99 " y'(t) = -y(t) +cos(t) + sin(t) cuaya solu ci\363n es: y(t) = sin(t) +Aexp(-t)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 99 "A diferencia de la anterior el t\351rmi no que depende de las condiciones iniciales y/o perturbaciones " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "va ahora con exp(-t), por lo que tiende a anularse r\341pidamente. La situaci\363n ahora es an\341loga a " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "un camino por el fondo de un valle de esc arpadas laderas. Aunque nos desviemos un poco " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "siempre tenderemos, dejandonos caer, a volver al fondo de l valle." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "estable:= diff(y(t),t) = -y(t) + cos(t) +sin(t):" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "Digits:=6:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "t0:=0.0: tf:=6.0: y0:=0.0: " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "g2:=plot(sin(t),t=t0..tf,color=green):" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "ini:=\{[0,0.5],[0,-0.5],[0,1],[0,-1],[0,1.5], \+ [0,-1.5]\}:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 78 "campo2:=DEplot(estab le,[y],t=t0..tf,ini,y=-1.5..1.5,color=blue,linecolor=red):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 72 "display(campo2,g2,title=`campo de direccion es de una ecuaci\363n estable`);" }}{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 1 " " } {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 49 " Dos ecuacio nes acopladas: Relacion cazador-presa" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 91 "Ejemplo de ecuaciones diferenciales a copladas (el equivalente de un sistema de ecuaciones)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Tenemos dos poblaciones interrelacionadas a trav\351 s de una relaci\363n cazador-presa. La " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "funci\363n r(t) representa una poblaci\363n de roedores y z(t) la \+ poblaci\363n de zorros. Sin zorros " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 96 "lo s roedores crecer\355an sin l\355mite y sin roedores los zorros morir \355an de hambre. En el siguiente " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 61 "par rafo se definen las ecuaciones que determinan el proceso. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 1 " " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "# Constantes que definen el problema" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "a:=0.5: # Crecimiento de roedores" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 66 "b:=-0.01: # Decaimiento de roedores al encontrarse con un zorro" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "c:=-0. 4: # DEcaimiento de zorros en ausencia de roedores" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 65 "d:=0.001: # Beneficio de un zorro al encont rarse con un roedor" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "# Ecuaciones" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "ec1:=D(r)(t) = a*r(t) + b*r(t)*z(t):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "ec2:=D(z)(t) = c*z(t) + d*r(t)*z(t):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "# Condiciones iniciales" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "ini1:= r(0)=500:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "ini2:= z(0)=50:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "# Resoluci\363n de la ecuaci\363n" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "sol:=dsolve(\{ec1,ec2,ini1,ini2\},\{r(t), z(t)\},numeric):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "Una vez que disponemos de una soluci\363n num\351rica al \+ problema pasamos a representar " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "gr\341 ficamentelas poblaciones de zorros y roedores en el tiempo, as\355 com o la de zorros vs." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "roedores. Asumimos \+ que las unidades de las constantes estan ajustadas para que la unidad \+ " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 21 "de tiempo sea un mes." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "# Gener acion de gr\341ficos" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "T:=0..60: \+ # Intervalo de observaci\363n 60 meses " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "NP:=numpoints=200:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 94 "g1:=odeplot(sol,[z(t),r(t)], T,NP,color=green,title=`gr\341fica zorros - roedores`):# r(t) vs z(t) " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "g2:=odeplot(sol,[t,z(t)],T,NP,c olor=red): # z(t) vs t" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "g3:=o deplot(sol,[t,r(t)],T,NP,color=blue): # r(t) vs t" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "display(g1);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 85 "display([g2,g3],title=`gr\341ficas: zorros - tiempo (rojo) y roedo res - tiempo (azul)`);" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 53 "Podemos ver tambi\351n la soluci\363n en tres dimensiones :" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 121 "DEplot3 d([ec1,ec2],[z(t),r(t)],0..36,\{[0,50,300]\},stepsize=0.1,linecolor=re d,title=`gr\341fica zorros - roedores - tiempo`);" }{TEXT -1 0 "" }} {PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "Observand o el campo de direcciones en el plano (z,r) para las ecuaciones difer enciales" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 58 "anteriores entendemos porque \+ obtenemo\"\363rbitas\" circulares:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "ini:=\{[0,60,300], [0,50,300], [0,36,300]\}:" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 160 "DEplot([ec1,ec2],[z(t),r(t)],t=0.. 16,z=25..75,r=200..650,ini,color=cyan,arrows=thick,linecolor=red,steps ize=0.1,title=`campo de direcciones zorros - roedores`);" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } {MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 60 " Introducci\363n de un l\355mite de roedores en ausencia de zorros" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "En las ecuaciones anteriores asumiamos que el n\372mero de roedores en ausencia de zorr os " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 95 "crecer\355a sin l\355mite. En el p rimer ejercicio hemos visto un modelo m\341s realista, que introduc \355a " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "un n\372mero m\341ximo de roedo res R soportado por el ecosistema. Vamos a ver como se " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 90 "altera el comportamiento del sistema anterior modif icando en este sentido la ecuaci\363n de " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 13 "los roedores:" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "# Modificacion de la prime ra ecuaci\363n" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "Rmax:=1000:" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 56 "ec1bis:= D(r)(t) = a*r(t)*(1.0-r(t) /Rmax) + b*r(t)*z(t):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "# Condiciones iniciales" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "ini1:= r(0)=400:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "ini2:= z(0)=60:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "# Solucion del nuevo sistema" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 59 "solbis:=dsolve(\{ec1bis,ec2,ini1,in i2\},\{r(t),z(t)\},numeric):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "# S olucion del viejo sistema" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "sol:=d solve(\{ec1,ec2,ini1,ini2\},\{r(t),z(t)\},numeric):" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Podr\355a pensarse que si en la soluci\363n anterior los roedores no se acercaban mucho a " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "Rma x=1000, las cosas no deb\355an cambiar mucho. Comprobemoslo:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "# \+ Generacion de gr\341ficos" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "g1:=odeplot(sol,[z(t),r(t)],T,NP,co lor=green): # Original" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 "g2:=od eplot(solbis,[z(t),r(t)],T,NP,color=red): # Nueva" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 59 "g3:=odeplot(solbis,[t,r(t)],T,NP,color=red): # \+ r(t) vs t" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 59 "g4:=odeplot(solbis,[t, z(t)],T,NP,color=blue): # z(t) vs t" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "display([g1,g2]);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "display( [g3,g4]);" }{TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 89 "\277Cual es el comportamiento de la nueva soluci \363n? \277 Qu\351 ocurre si aumentamos el l\355mite de " }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 86 "roedores en el ecosistema? Probad con condiciones \+ iniciales zorros=40 y roedores=400 " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "c on Rmax = 1000, 2000, 5000. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 94 "El punto \+ de equilibrio final \277depende m\341s de las condiciones iniciales o \+ del Rmax? \277Qu\351 pasa " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 94 "si el n \372mero de roedores introducido inicialmente excede el soportado por \+ el sistema (es decir" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 " r(0)>Rmax)? Prob rad con Rmax=300 e interpretar los resultados.." }}{PARA 4 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 " " }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 55 " Modificaci\363n: reproducci \363n estacional de los roedores " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 91 "En la ecuaciones anteriores para los roed ores usabamos una constante a=0.5 para indicar su " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 91 "capacidad reproductora. Al ser a constante estamos asumie nto que la capacidad reproductora " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "de \+ nuestros animalitos no depende del tiempo. Sin embargo lo normal es qu e nuestros roedores" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 72 " tengan una \351po ca de reproducci\363n centrada principalmente en primavera. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "Podemos introdu cir este factor en nuestras ecuaciones haciendo que a no sea constante , sino " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 94 "una funci\363n del tiempo, de \+ caracter periodica anual, con un m\341ximo en cierto mes (por ejemplo \+ " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "abril o mayo) y decreciendo seg\372n \+ nos alejamos de dicho mes." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 "alfa:=proc(t)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 " local tt,a;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 " \+ tt:= 2*Pi*(t-5)/12; # M\341ximo en t=5 (Mayo)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 57 " a := (1+cos(tt))/2.0; # Aplicamos funci\363n \+ periodica " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 " a:= 0.8*a^2; \+ # con m\341ximo en el origen" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 " RETURN (a);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end:" }{TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 2 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 52 "Echemos un vistazo a nuestra funci\363n \"reproductora\":" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "plot(alfa(t),t=0..12);" }}{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 "Planteemos y re solvamos las nuevas ecuaciones diferenciales:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "# Nueva ecua cion para roedores" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "b:=-0.01: c:= -0.4: d:= 0.001: Rmax:=1000:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 56 "ec1 _c:=D(r)(t)=alfa(t,2)*r(t)*(1-r(t)/Rmax)+b*r(t)*z(t):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "ec2 :=D(z)(t) = c*z(t) + d*r(t)*z(t):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "# Condiciones iniciales" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 "T0:=5:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "ini1 := r(T0)=500:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "ini2:= z(T0)=25:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "# Resoluci\363n de la ecuaci\363n" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 56 "sol3:=dsolve(\{ec1_c,ec2,ini1,ini2\},\{r(t),z(t)\},numeric):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 56 "sol:=dsolve(\{ec1bis,ec2,ini1,ini 2\},\{r(t),z(t)\},numeric):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 "Representemos gr\341ficamente los resultados:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 10 "T:=T0..60:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "g1:=odeplot(sol 3,[t,r(t)],T,NP,color=blue):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "g2: =odeplot(sol3,[t,z(t)],T,NP,color=red):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 66 "g3:=odeplot(sol3,[z(t),r(t)],T,NP,view=[0..40, 0..800],color=r ed):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 66 "g4:=odeplot(sol,[z(t),r(t)] ,T,NP,view=[0..40, 0..800],color=blue):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "display(array(1..2,[g1,g 2]));display(g3,g4);" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "La pri mera gr\341fica pinta las respectivas poblaciones durante 60 meses. En la segunda se " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "representan la evoluci \363n de roedores frente a los zorros para este \372ltimo caso (rojo) y " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "para el caso anterior de reproducc i\363n no estacional (azul). Se observa un comportamiento " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "mucho m\341s err\341tico en la soluci\363n." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "Una de la s principales diferencias de este \372ltimo sistema de ecuaciones es q ue aqu\355 tenemos " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "una dependencia ex pl\355cita temporal (en alfa(t)). Antes daba lo mismo poner en marcha \+ el " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 "sistema en mayo o en octubre (es d ecir daba igual que las condiciones iniciales se " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "establecieran en t=5 o t=10. Ahora no es lo mismo soltar \+ a los conejos en \351poca de cr\355a " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "que en diciembre. Probad a soltar los 500 conejos y 25 zorros en ener o (T0=1) y " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "septiembre (T0=9), compr obando como la soluci\363n roja cambia mientras que la azul " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "permanece constante. \277 Qu\351 \351poca parece que es la mejor ? (en el sentido de generar una " }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 85 "situaci\363n estable donde ninguna de las especies disminuya demasiado y parezca que se " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 23 "alzance un equilibrio)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 0 "" }}}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 45 " Ecuaci\363n segundo grado: Ecuaci\363n del p \351ndulo" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 95 "El siguiente ejemplo trata de una ecuaci\363n diferencial de segun do orden en una \372nica variable. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "Se puede demostrar (ver apuntes) que el angulo que forma un p\351ndulo d e longitud fija con la " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "vertical sigue la siguiente ecuaci\363n diferencial:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 " " }{XPPEDIT 18 0 " diff(theta(t),`$`(t,2)) = -g*sin(theta)/L;" "6#/-%%diffG6$-%&thetaG6#% \"tG-%\"$G6$F*\"\"#,$*(%\"gG\"\"\"-%$sinG6#F(F2%\"LG!\"\"F7" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "donde g es la aceleraci\363n de la gravedad en \+ la superficie terrestre (9.8 m/s^2) y L la longitud " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 96 "del p\351ndulo. Esta ecuaci\363n (sin soluci\363n anal \355tica conocida) nos permite ilustrar un diferente " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 94 "enfoque de soluci\363n. En esta asignatura estamos \+ interesados en hallar soluciones aproximadas " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 98 "a la ecuaci\363n diferencial exacta. El otro enfoque cons iste en simplificar la ecuaci\363n diferencial " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 96 "y hallar (si es posible) una soluci\363n exacta a la ecua ci\363n aproximada. En el caso que nos ocupa " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "si el \341ngulo es peque\361o el seno puede aproximarse p or el \341ngulo y entonces tenemos que:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 " " }{XPPEDIT 18 0 "diff(theta(t),`$`(t,2)) = -g*theta(t)/L;" "6#/-%%diffG6$-%&thetaG6# %\"tG-%\"$G6$F*\"\"#,$*(%\"gG\"\"\"-F(6#F*F2%\"LG!\"\"F6" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 65 " Ecuaci\363n que si es resoluble de forma exacta y cuya soluci\363n es:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 26 " \+ " }{XPPEDIT 18 0 "theta(t) = A*cos(omega*t)+B*sin(omega*t); " "6#/-%&thetaG6#%\"tG,&*&%\"AG\"\"\"-%$cosG6#*&%&omegaGF+F'F+F+F+*&% \"BGF+-%$sinG6#*&F0F+F'F+F+F+" }{TEXT -1 14 " con " } {XPPEDIT 18 0 "omega = sqrt(g/L);" "6#/%&omegaG-%%sqrtG6#*&%\"gG\"\"\" %\"LG!\"\"" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 94 " Las constantes A y B deben determinarse a partir de las condiciones iniciales (ahora son dos " } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "al tener una ecuaci\363n de segundo grad o). T\355picamente las condiciones son el \341ngulo y la " }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 30 "velocidad angular iniciales. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 90 "Normalmente el escenario es que partimos del p\351ndulo a lejado de la vertical por un \341ngulo " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "THETA y lo dejamos caer (sin velocidad inicial). Para ese caso la \+ soluci\363n es:" }}{PARA 0 "" 0 "" {XPPEDIT 18 0 "theta(t) = THETA*cos (omega*t);" "6#/-%&thetaG6#%\"tG*&%&THETAG\"\"\"-%$cosG6#*&%&omegaGF*F 'F*F*" }{TEXT -1 34 " , una oscilaci\363n periodica con " }{XPPEDIT 18 0 "T = 2*Pi/omega;" "6#/%\"TG*(\"\"#\"\"\"%#PiGF'%&omegaG!\"\"" } {TEXT -1 7 " = " }{XPPEDIT 18 0 "2*Pi*sqrt(L/g);" "6#*(\"\"#\"\"\" %#PiGF%-%%sqrtG6#*&%\"LGF%%\"gG!\"\"F%" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 " A continuaci\363n resolveremos la e cuaci\363n verdadera de forma num\351rica y la compararemos " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "con la soluci\363n exacta a la ecuaci\363n apr oximada." }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "# Constantes del problema" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "g:=9.8: L:=1.0:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 60 "# Conversi\363n a un sistema de dos ecuaciones de primer orden:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 25 "# z1 = theta, z2 = theta'" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 58 "pendulo:= diff(z1(t),t)=z2(t), diff(z2(t),t)=-g*sin(z 1)/L:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "# Condiciones iniciales" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "th 0 :=0.3: # Posicion inicial en radianes" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "v0 :=0.0: # Velocidad angular inicial " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "ini:= z1(0)=th0, z2(0)=v0:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "# Soluci\363 n num\351rica" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 "sol:=dsolve(\{pend ulo,ini\},\{z1(t),z2(t)\},type=numeric):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 56 "g1:=odeplot(sol,[t,z1(t)],0..4,numpoints=100,color=re d):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 41 "#Solucion exacta a la ecuacion aproximada" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "w:=sqrt(g/L): A:=v0/w: B:=th0:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "aprox:=plot(A*sin(w*t)+B*cos(w*t),t=0..4,co lor=blue):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "display(g1,aprox);" } }{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6&-% 'CURVESG6$7aq7$\"\"!$\"\"$!\"\"7$$\"'++S!\"($\"1PD&p8go(H!#;7$$\"'++!) F/$\"1Vk\")yhDpQCF27$$\"'++CF;$\"1XhgPI\"H?#F27$$\"'++GF;$\"1B, OFg\"H$>F27$$\"'++KF;$\"1R0\"3\"*RGj\"F27$$\"'++OF;$\"1Rm+0%4tI\"F27$$ F.F;$\"1k(>>6qOh*!#<7$$\"'++WF;$\"1Mgr;s%R+'Fjn7$$\"'++[F;$\"1H^j&3s-I #Fjn7$$\"'++_F;$!1,(et!pTR9Fjn7$$\"'++cF;$!1<2xK(ol:&Fjn7$$\"'++gF;$!1 Z-s@f,$z)Fjn7$$\"'++kF;$!1)pxz*f>H7F27$$\"'++oF;$!1%>G])=*)f:F27$$\"'+ +sF;$!1$>&))G7Em=F27$$\"'++wF;$!134UtldV@F27$$F5F;$!1Ut+0>e(Q#F27$$\"' ++%)F;$!1MSxgKb%f#F27$$\"'++))F;$!1c)zE))[8w#F27$$\"'++#*F;$!1^?\"e=\\ a)GF27$$\"'++'*F;$!1u7E9r)\\'HF27$$\"'++5!\"&$!1owV\"fp()*HF27$$\"'+S5 Fcs$!1qxSQ2H')HF27$$\"'+!3\"Fcs$!1D'4+OPx#HF27$$\"'+?6Fcs$!1g'[t#p)R#G F27$$\"'+g6Fcs$!1l#*3rzfwEF27$$F:Fcs$!1qF27$$\"'+?8Fcs$!1enDFUV/f)*Gj%o Fjn7$$\"'+![\"Fcs$!1v_kZ?@fJFjn7$$\"'+?:Fcs$\"1N[Piyitd!#=7$$\"'+g:Fcs $\"1r#)**>v*[I%Fjn7$$F@Fcs$\"1^E[Z![]'zFjn7$$\"'+S;Fcs$\"1uS8`91]6F27$ $\"'+!o\"Fcs$\"1q4[*)*\\c[\"F27$$\"'+?Fcs$\"1!y&[79ugGF27$$\"'+g>Fcs$ \"1s0z`1o]HF27$$FEFcs$\"1%H#=L)y]*HF27$$\"'+S?Fcs$\"1s7sC4F$*HF27$$\"' +!3#Fcs$\"1jak!*RGXHF27$$\"'+?@Fcs$\"1)>*G*)o$=&GF27$$\"'+g@Fcs$\"1iO] TCL9FF27$$\"'++AFcs$\"1^\"RgtT[`#F27$$\"'+SAFcs$\"1o&Gy+!3;BF27$$\"'+! G#Fcs$\"16Ys)Qt81#F27$$\"'+?BFcs$\"1TMbYehu0)\\?F27$$FOFcs $!16H`>X\\zAF27$$\"'+SGFcs$!14OCjO'R]#F27$$\"'+!)GFcs$!1l_Py,j*o#F27$$ \"'+?HFcs$!1?'RfM$oLGF27$$\"'+gHFcs$!1]TYL@&R$HF27$$\"'++IFcs$!1SP/h1$ *))HF27$$\"'+SIFcs$!1-.&)Q^z(*HF27$$\"'+!3$Fcs$!1*R=5(GTgHF27$$\"'+?JF cs$!1GrJ)oVt(GF27$$\"'+gJFcs$!1_xYqQ$)\\FF27$$FTFcs$!1qY.1B!)zDF27$$\" '+SKFcs$!1HBTs$=)pBF27$$\"'+!G$Fcs$!1O4@a32B@F27$$\"'+?LFcs$!1UFL% =F27$$\"'+gLFcs$!1*)=aVD)[`\"F27$$\"'++MFcs$!1.9\\1$)\\-7F27$$\"'+SMFc s$!14\"oW?0L^)Fjn7$$\"'+![$Fcs$!1*QYef([o[Fjn7$$\"'+?NFcs$!1'*QY*Qqu9 \"Fjn7$$\"'+gNFcs$\"1S1?-K^\"f#Fjn7$$FYFcs$\"1Z))fkT#**G'Fjn7$$\"'+SOF cs$\"19!=wb8**))*Fjn7$$\"'+!o$Fcs$\"1dk\\,*HNL\"F27$$\"'+?PFcs$\"1M&HL a\\sl\"F27$$\"'+gPFcs$\"1;\"39qP^&>F27$$\"'++QFcs$\"1iI.&H0EA#F27$$\"' +SQFcs$\"1j[s,XbbCF27$$\"'+!)QFcs$\"1mZ&f8O/l#F27$$\"'+?RFcs$\"1!4.Uh' H/GF27$$\"'+gRFcs$\"1_1W')[\"[\"HF27$$F.Fcs$\"1:o6n*H.)HF2-%'COLOURG6& %$RGBG$\"*++++\"!\")F(F(-F$6$7gr7$F($\"1+++++++IF27$$\"1LLL3x&)*3\"Fjn $\"1#*[$H6a#)*HF27$$\"1nmm;arz@Fjn$\"1k1#Q[=I*HF27$$\"1+++DJdpKFjn$\"1 8a`1#*H%)HF27$$\"1LLLL3VfVFjn$\"1H9mHk5sHF27$$\"1+++]i9RlFjn$\"1+'=%p6 OPHF27$$\"1mmmm;')=()Fjn$\"1q)*[>W%*))GF27$$\"1++]7z>^7F2$\"1'zY%=&)zs FF27$$\"1LLLe'40j\"F2$\"1n([a*>g:Smw@]\"F27$$\"1++](GI)pPF2$\"17I$pArB9\"F27$$\"1LLLeF >(>%F2$\"1g]\"3r$\\@wFjn7$$\"1*****\\Z7Mf%F2$\"11&y_7\\J(RFjn7$$\"1mmm \">K'*)\\F2$\"1!4Eyxcvj#Ffw7$$\"1KLLeZ*)*R&F2$!1I8)fJl1e$Fjn7$$\"1**** *\\Kd,\"eF2$!1(Q1&HX5mtFjn7$$\"1KLLe9XMiF2$!1qn[PZE:6F27$$\"1mmm\"fX(e mF2$!1gL39=Fu9F27$$\"1LLL3!z;3(F2$!1)[&oJqG1=F27$$\"1*****\\U7Y](F2$!1 ;H\"*H]o1@F27$$\"1mm;H9lRzF2$!1P_7&)*frP#F27$$\"1MLLL/pu$)F2$!1bsgHGh. EF27$$\"1+++DI(yv)F2$!1PYl%[_Kw#F27$$\"1nmm;c0T\"*F2$!13Fy!fyJ)GF27$$ \"1++]P?uc$*F2$!1dO\")\\DaKHF27$$\"1LLLe%GCd*F2$!1R`J??aoHF27$$\"1++vo ;F!o*F2$!1-)[>Sw9)HF27$$\"1mm;z[6)y*F2$!1@!\\<%H,\"*HF27$$\"1KLe*3ef*) *F2$!137Rr29(*HF27$$\"1+++I,Q+5!#:$!1(o*G2H&)**HF27$$\"1++]K(37,\"Faem $!1)p7!4j8**HF27$$\"1+++Nt.A5Faem$!1\\G$)=O(\\*HF27$$\"1++]Pf'G.\"Faem $!1Q\")z>'pt)HF27$$\"1+++SXpV5Faem$!1\\r6\\ILwHF27$$\"1+++X\"F27$ $\"1LLL`Q\"GT\"Faem$!1tojzWNm&)Fjn7$$\"1nm\"HYHsX\"Faem$!1[NRx%G*)\\%F jn7$$\"1++]s]k,:Faem$!1oR=]%[mW$Ffw7$$\"1nm\"HTg4a\"Faem$\"1\")p$[w%oS LFjn7$$\"1LLL`dF!e\"Faem$\"1)e57(R\\vpFjn7$$\"1nm\"H\"4TB;Faem$\"1-$*[ ES+%3\"F27$$\"1++]sgam;Faem$\"10VLmDs]9F27$$\"1+++X4i2Faem$\"1Uk_1U9rGF27$$\"1n;H_)[V$>Faem$\"1'RVnGgD#HF2 7$$\"1++v[Wdb>Faem$\"1'Rc&>v2hHF27$$\"1L$3_/+o(>Faem$\"1GqZ2f_')HF27$$ \"1nmmTc-)*>Faem$\"14V$H8$z)*HF27$$\"1nTNc$\\!4?Faem$\"1Q.b#QV***HF27$ $\"1n;/rI2??Faem$\"1NU#zG@v*HF27$$\"1n\"Hdy'4J?Faem$\"1(p&HL(H:*HF27$$ \"1mmT+07U?Faem$\"1m7V`e(>)HF27$$\"1m;zHz;k?Faem$\"1nqm`3B_HF27$$\"1mm ;f`@'3#Faem$\"1@#)HGzU3HF27$$\"1LLLj+gC@Faem$\"1A6C73G*z#F27$$\"1++]nZ )H;#Faem$\"1WUVpGw\\EF27$$\"1LLe*HTW?#Faem$\"1sE%epKaW#F27$$\"1mmmJy*e C#Faem$\"1!*3_aC(**>#F27$$\"1LL$e[E()G#Faem$\"1GO;@De2>F27$$\"1+++S^bJ BFaem$\"1cIFoH&4e\"F27$$\"1++]AYXtBFaem$\"1BZ,!y0RB\"F27$$\"1+++0TN:CF aem$\"1K+iv9gc')Fjn7$$\"1++v3S*eX#Faem$\"137XSLS^\\Fjn7$$\"1++]7RV'\\# Faem$\"1[\\.PRcm6Fjn7$$\"1++vjlWTDFaem$!1b$>'4\"*>bIFjn7$$\"1+++:#fke# Faem$!1*fH8w(R;sFjn7$$\"1mm;%30pi#Faem$!1%Q>r!Gd$3\"F27$$\"1LLL`4NnEFa em$!1VKmrw:G9F27$$\"1mmm^b`5FFaem$!1&>pp&\\qq$GFaem$!1r(=4$ R&Ha#F27$$\"1LLeCZwuGFaem$!1?`'yd6Ft#F27$$\"1+++qfaIFaem$!1QsJ6v%*)*HF27$$\"1LLeM 7hHIFaem$!1h*e=X0Z*HF27$$\"1nm;W/8SIFaem$!1bFV'>;s)HF27$$\"1LLLj)o61$F aem$!1cHh#4KD'HF27$$\"1++]#G2A3$Faem$!1Xe%>B-]#HF27$$\"1nm\"H3XL7$Faem $!1J%R&f4<:GF27$$\"1LLL$)G[kJFaem$!1\\SN0_reEF27$$\"1mm\"zM]v?$Faem$!1 I:(4U$zZCF27$$\"1++]7yh]KFaem$!1%R<71XC>#F27$$\"1MLe**o4#H$Faem$!1S;L1 i$)3>F27$$\"1nmm')fdLLFaem$!1qR#*yu3$f\"F27$$\"1nm;WV*fP$Faem$!1dBG;; \\U7F27$$\"1nmm,FT=MFaem$!1kn)QD'=+()Fjn7$$\"1++v8)z/Y$Faem$!1i(R_XB[& [Fjn7$$\"1LL$e#pa-NFaem$!16ng[F(QD*Ffw7$$\"1nm\"HB-7a$Faem$\"1Q^%p<;6q #Fjn7$$\"1+++Sv&)zNFaem$\"1:![n+9\")G'Fjn7$$\"1mm;%)3;COFaem$\"1^H[4FI G5F27$$\"1LLLGUYoOFaem$\"1]!)zDf/39F27$$\"1++]n'*33PFaem$\"1u%f6%3*\\s \"F27$$\"1nmm1^rZPFaem$\"1%[l)>gU:?F27$$\"1MLe*3k**y$Faem$\"1EeujN(3H# F27$$\"1++]sI@KQFaem$\"18+*>k0j_#F27$$\"1+++S2lsQFaem$\"1(pZe8h.r#F27$ $\"1++]2%)38RFaem$\"1O,h14/^GF27$$\"1+]i0j\"[$RFaem$\"1I&y]I+z!HF27$$ \"1++v.UacRFaem$\"1#H\\0<68&HF27$$\"1+](=5s#yRFaem$\"1*>A`ts5)HF27$$\" \"%F($\"1e!QtNZq*HF2-Fgjl6&FijlF(F(Fjjl-%+AXESLABELSG6$Q\"t6\"%!G-%%VI EWG6$;F(Fbao%(DEFAULTG" 2 400 300 300 2 0 1 0 2 9 1 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 126 "Correr el problema para varios angulos y velocidades iniciales. \277 Cu\341ndo existe discrepancia entre ambas soluciones? \277Por qu\351?" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 11 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 64 " Notaci\363n para introducir una ecuaci\363n de segundo grado en Maple" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 84 "En Maple no es necesar io ocuparnos de convertir una ecuaci\363n de segundo grado en un " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "sistema de dos de primer grado, ya que es posible darle a Maple directamente la ecuaci\363n " }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 91 "original y el se encarga de generar el sistema adecuado . Para el caso anterior la ecuaci\363n " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "diferencial se especificar\355a:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "pend:=diff(theta(t),t,t)=- g*sin(theta(t))/L;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "ini:= theta(0 )=th0, D(theta)(0)=v0:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "p := dsol ve(\{pend,ini\},\{theta(t)\},numeric):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "odeplot(p,[t,theta(t)],0..5);" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 55 " Acoplamiento ecuaciones segundo grado: O rbita sat\351lite" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "restart ;with(plots): with(DEtools):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 99 " En este ejemplo simulamos la \363rbita d e un sat\351lite en torno a la tierra. En este caso tenemos dos " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 94 "ecuaciones de segundo orden (las posicion es en ambos ejes) acopladas. Se puede demostrar (ver " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 101 "apuntes) que si la tierra est\341 en el origen de coo rdenadas y la posici\363n del sat\351lite viene dada por " }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 94 "sus coordenadas (x(t),y(t)) en el plano, dichas co ordenadas verifican la ecuaci\363n diferencial:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 12 " " }{XPPEDIT 18 0 "diff(x(t),`$`(t,2)) = -GM*x(t)/(r^3);" "6#/-%%diffG6$-%\"xG6#%\" tG-%\"$G6$F*\"\"#,$*(%#GMG\"\"\"-F(6#F*F2*$%\"rG\"\"$!\"\"F8" }{TEXT -1 12 " , " }{XPPEDIT 18 0 "diff(y(t),`$`(t,2)) = -GM*y(t)/(r ^3);" "6#/-%%diffG6$-%\"yG6#%\"tG-%\"$G6$F*\"\"#,$*(%#GMG\"\"\"-F(6#F* F2*$%\"rG\"\"$!\"\"F8" }{TEXT -1 16 " , con " }{XPPEDIT 18 0 "r = sqrt(x^2+y^2);" "6#/%\"rG-%%sqrtG6#,&*$%\"xG\"\"#\"\"\"*$%\"yG\" \"#F," }{TEXT -1 3 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "donde GM es el producto de la constante gravitatoria universal y la masa de la Tierra. Si usamos " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "como unidad de d istancia el millar " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 61 "de kilometros y \+ como unidad de tiempo una hora, el valor de " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 73 "GM resulta ser d el orden de 5000. Resolvamos este problema usando Maple:" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 " " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "#Especificaci\363n de c onstantes:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "GM:=5000:" }}{PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "R0:=6.27: # Radio de la Tierra 6270 Km" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 48 "#Generamos un gr\341fico representando a la tierra " }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 77 "Tierra:=plot([R0*cos(t),R0*sin(t),t=0..2*Pi],c olor=blue,scaling=constrained):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 " " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "# Especificaci\363n de Ecuacion es diferenciales." }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "r3:=(x(t)^2+y( t)^2)^1.5:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "a_x:=diff(x(t),t,t)=-GM*x(t)/r3:" }}{PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 32 "a_y:=diff(y(t),t,t)=-GM*y(t)/r3:" }{TEXT -1 0 "" }} }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 47 "# Resoluci\363n con varias condiciones iniciales: \+ " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "# usamos la misma posici\363n i nicial, " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 42 "# variando la velocidad en el eje de las Y" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "# Usamos cinco velocidades de prueba" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 "N:=5:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 81 "g:=array(1..N): vel_y:=array(1..N,[20, 25, 30, 33, 40]): # Ve locidades de prueba" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "col:=array(1 ..N,[green, cyan, red, red, yellow]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "ini:=x(0)=8, y(0)=0.0, D(x)(0)=0.0:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "printlevel:=0: " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "for k from 1 to 5 do " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 82 " orbit:=dsolve(\{a_x,a_y,ini,D(y)(0)=vel_ y[k]\},\{x(t),y(t)\},numeric,'relerr'=1e-5): " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 91 " g[k]:=odeplot(orbit,[x(t),y(t)],0..48,numpoints=1000 ,color=col[k],view=[-32..12,-20..20]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 3 "od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "display(seq(g[k ],k=1..N),Tierra);" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 13 "" 1 " " {INLPLOT "6+-%'CURVESG6$7ein7$$\"\")\"\"!F*7$$\"1G?3Pn)*4z!#:$\"19?` K!4Rc*!#;7$$\"14h$o1*zRwF.$\"1YZ-[m!4*=F.7$$\"16W][M3*=(F.$\"1c'*RqNa! 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Con " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "25000 Km/h (cyan) mantenemos una orbita pr\341cticam ente circular (de energ\355a m\355nima). " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 91 "Con las dos velociades siguientes obtenemos \363rbitas exc\351ntri cas (rojo). Por \372ltimo, parece " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 90 "que la velocidad de 40000 Km/h (amarilla) es suficiente para escapar a la atracci\363n de la " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "tierra ya que el \+ satelite parece no volver." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "Con las mismas ecuaciones podemos simular el lanz amiento de un ICBM (aunque ser\355a muy " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 93 "poco realista porque en este caso deberiamos considerar el rozamie nto con el aire y el hecho " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "de que un \+ misil no parte de una v0 inicial, sino que va ganando velocidad poco a poco). " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 "Obviando estos temas, nos bas taria cambiar las condiciones iniciales. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "La posici\363n inicial estar\355a ahora sobre la superficie de la tierra (p.e. x0=0, y0=R). " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 71 "Tenemos qu e decidir la velocidad inicial v0 y el \341ngulo de lanzamiento " } {XPPEDIT 18 0 "alpha;" "6#%&alphaG" }{TEXT -1 31 " con respecto a la h orizontal. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 68 "En esas condiciones las ve lociades iniciales en X e Y son vx=v0cos(" }{XPPEDIT 18 0 "alpha;" "6 #%&alphaG" }{TEXT -1 15 ") y vy= v0cos(" }{XPPEDIT 18 0 "alpha;" "6#% &alphaG" }{TEXT -1 2 ")." }}{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 "v0:=25: # miles de \+ Km/h" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "alpha:= 50*Pi/180: # 50 grados de inclinaci\363n" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 67 "ini:=x (0)=0, y(0)=R0, D(x)(0)=v0*cos(alpha), D(y)(0)=v0*sin(alpha):" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 63 "icbm:=dsolve(\{a_x,a_y,ini\},\{x(t),y(t)\},numeric,'relerr'=1e-5): " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 80 "graf:=odeplot(icbm,[x(t),y(t)] ,0..1,numpoints=200,color=red,view=[0..10,0..10]):" }}{PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "display(Tierr a, graf);" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "Suponiendo que nu estro lugar de lanzamiento es el Polo Norte (como parece deducirse por " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "la orientaci\363n de nuestro dibujo) , y asumiendo una velocidad inicial de 25000 Km/hora, " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "\277es posible conseguir que el ICBM caiga justament e en el Ecuador? \277Y con 30000 Km/hora?" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 63 " Sistema de 4 ecuaciones a copladas en x(t), y(t), x'(t), y'(t):" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " \+ " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "En este apartado r esolvemos el mismo problema anterior, especificando nosotros" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "mismos el sistema de 4 ecuaciones de primer ord en a resolver, en vez de dejar" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 "que Map le haga el trabajo. Se comprueba que los resultados son iguales" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "# Usamos un vector z de cuatro componentes:" } }{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 31 "# z1=x z2=y z3=vx z4=vy" } }{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "# z1'=vx z2'=vy z3'=ax z4'=ay \+ " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "GM:=5000:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "dz1:=diff(z1(t),t)=z3(t): dz2:=diff(z2(t),t)=z 4(t):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "r3:=(z1(t)^2 + z2(t)^2)^1. 5:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "dz3:=diff(z3(t),t)=-GM*z1(t)/ r3:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "dz4:=diff(z4(t),t)=-GM*z2(t) /r3:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "sist:= dz1,dz2,dz3,dz4:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "ini := z1(0)=10.0, z2(0)=0.0, z3(0)=0.0, z4(0)=28:" } }{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 74 "orbit:=dsolve(\{sist,ini\},\{z1(t),z2(t),z3(t),z4(t)\},numeric,'re lerr'=1e-2):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 72 "odeplot(orbit,[z1(t ),z2(t)],0..10,numpoints=100,view=[-40..20,-30..30]);" }{TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 52 " Acci\363n de un motor en el \+ satelite: cambio de \363rbita" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "Por \372ltimo consideramos la posibilidad de que nuestro sat\351lite lleve un peque\361o" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "motor que le permita impulsarse durante un corto periodo, modificado su \363rbita." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 20 "restart;with(plots):" }}}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "En primer lugar definimos una funci\363n que nos indique la aceler aci\363n del motor" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "en un cierto moment o. La actividad del motor alcanza su m\341ximo en el instante " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 67 "T0, momento en el que comunica al satelit e una aceleraci\363n de g/20." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 71 "Como com paraci\363n un coche de unos 100CV es capaz de una aceleraci\363n de \+ " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 20 "g/3 aproximadamente." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "# definici\363n de la funci\363n aceleraci\363n" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 " " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "motor:=proc(tt)" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 " local g,acel;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 13 " global T_ig;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 54 " g:=127.0: # Valor de g=9.8m/s2 en nuestras unidades " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 1 " " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 " acel:=(g/20)* exp(-abs(tt-T_ig)*4);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 " RETURN(ac el);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end:" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "Si hacemos un plot de la aceleraci\363n para p.e. T0=24 horas comprobamos que est\341" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "muy concentrada en el tiempo. El motor es t\341 \372nicamente activo durante un par de horas." }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "T_ig:=24:p lot(motor(t),t=0..48);" }{TEXT -1 0 "" }}}{PARA 11 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 " A \361adamos la aceleraci\363n producida por el motor en las ecuaciones \+ diferenciales de " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 " antes. La direcci \363n del impulso del motor es en la direcci\363n de la nave, por lo q ue " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 29 "seguir\341 su vector velocidad: " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 47 " \+ ( " }{XPPEDIT 18 0 "vx/v;" "6#*&%#vxG\"\"\"%\"vG!\"\"" }{TEXT -1 6 " , " }{XPPEDIT 18 0 "vy/v;" "6#*&%#vyG\"\"\"%\"vG!\"\"" } {TEXT -1 3 " )" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 47 "Las nuevas ecuaciones \+ diferenciales ser\341n pues:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 " \+ " }{XPPEDIT 18 0 "diff(x(t),`$`(t,2)) = -GM*x(t)/r3+mo tor(t);" "6#/-%%diffG6$-%\"xG6#%\"tG-%\"$G6$F*\"\"#,&*(%#GMG\"\"\"-F(6 #F*F2%#r3G!\"\"F6-%&motorG6#F*F2" }{TEXT -1 3 " ( " }{XPPEDIT 18 0 "vx /v;" "6#*&%#vxG\"\"\"%\"vG!\"\"" }{TEXT -1 2 " )" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 24 " " }{XPPEDIT 18 0 "diff(y(t),`$`(t ,2)) = -GM*y(t)/r3+motor(t);" "6#/-%%diffG6$-%\"yG6#%\"tG-%\"$G6$F*\" \"#,&*(%#GMG\"\"\"-F(6#F*F2%#r3G!\"\"F6-%&motorG6#F*F2" }{TEXT -1 4 " \+ ( " }{XPPEDIT 18 0 "vy/v;" "6#*&%#vyG\"\"\"%\"vG!\"\"" }{TEXT -1 2 " \+ )" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 0 "" } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 59 "Dichas ecuaciones se reflejan en el sigu iente c\363digo Maple:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "T_ig:=40: # Momento de la ignici \363n" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "GM:=5000:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 44 "# Circ unferencia de la Tierra. Radio 6270 km" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 87 "R0:=6.27: Tierra:=plot([R0*cos(t),R0*sin(t),t=0..2*Pi],color=b lue,scaling=constrained):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "r3:=(x(t)^2+y(t)^2)^1.5:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "vx:=diff(x(t),t): vy:=diff(y(t),t):" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "v:=sqrt(vx^2 + vy^2 ):" }}{PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "ec1:=d iff(x(t),t,t)= -GM*x(t)/r3 + motor(t)*vx/v:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "ec2:=diff(y(t),t,t)= -GM*y(t)/r3 + motor(t)*vy/v:" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "# Pintamos la gr\341fica:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "in it:= x(0)=10,D(x)(0)=0.0,y(0)=0.0,D(y)(0)=30:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "F:=dsolve(\{ec1,ec2,init\},\{x(t),y(t)\},numeric):" } }{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "g:=odeplot(F,[x(t),y(t)],0..144,nu mpoints=500):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "display(Tierra,g); " }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Proba d a activar el motor en distintos momentos p.e T_ig = ( 15, 25, 30, 4 0 horas)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 26 "\277Qu\351 sucede en cada c aso? " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 49 "\277En qu\351 momento es m\341 s critico encender el motor?" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "Probad a \+ modificar la funci\363n motor para que en vez de un s\363lo encendido en T_ig" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "tenga dos encendidos (con la \+ mitad de aceleraci\363n) en dos instantes distintos " }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 62 "T_ig_1 y T_ig_2. Ver que cambios de \363rbitas podeis c onseguir. " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 1 " " } {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 " " }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 0 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT -1 34 "Ejercicio: Diagrama de estabilidad" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 256 "Como eje rcicio final, vamos a dibujar el 'Diagrama de estabilidad' de un siste ma de ecuaciones diferenciales. Con ello unicamente se pretende mostra r los diferentes 'tipos de comportamientos' de las soluciones: estable , asint\363ticamente estable e inestable." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 312 "Se propone un sistema de ecuacion es diferenciales con 4 par\341metros independientes, pero siempre con \+ el punto (x(0)=0,y(0)=0) como punto cr\355tico (esto es, \{x(t)=0,y(t) =0\} es una soluci\363n de equilibrio). Dando determinados valores a l os par\341metros obtendremos cada uno de los diferentes 'tipos de comp ortamientos'." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 148 "Cada 'tipo de comportam iento' corresponder\341 con aquellos par\341metros que 'se encuentren' en una regi\363n del plano, denominado diagrama de estabilidad." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 406 "Una vez \+ elegida una selecci\363n de par\341metros que correspondan a una regi \363n del plano, dibujaremos la gr\341fica de las soluciones del siste ma de ecuaciones en un entorno del punto cr\355tico, pudiendo apreciar los diferentes 'comportamientos' de las soluciones. Estos distintos c omportamientos de las soluciones dan lugar a las diferentes denominaci ones de puntos cr\355ticos: espiral, centro, nodo y punto de silla." } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "Primeramente, inicializamos las variables Maple." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "restart;with(plots):with(DEtools):" }{TEXT -1 1 " " } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 90 "Definimos el sistema de ecuaciones difere nciales, donde a, b, c y d son los par\341metros:: " }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 " \+ x'(t)=a x(t) + b y(t)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 " \+ y'(t)=c x(t) + d y(t)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 " \+ " }{MPLTEXT 1 0 24 " \+ " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "ec1:= D(x)(t)=a*x(t)+b*y(t):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "ec2:=D(y) (t)=c*x(t)+d*y(t):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 57 "Sean p, q y r las siguientes expresiones algebraica s:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 " \+ " }{XPPEDIT 18 0 "p = a+d;" "6#/%\"pG,&%\"aG\"\"\"%\"dGF'" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 " " } {XPPEDIT 18 0 "q = a*d-b*c;" "6#/%\"qG,&*&%\"aG\"\"\"%\"dGF(F(*&%\"bGF (%\"cGF(!\"\"" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 55 " \+ " }{XPPEDIT 18 0 "r = p^2-4*q;" "6#/%\" rG,&*$%\"pG\"\"#\"\"\"*&\"\"%F)%\"qGF)!\"\"" }{MPLTEXT 1 0 2 " " } {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 110 "Representamos graficamente las regiones del plano (p,q) que de terminan los ejes coordenados y la par\341bola r=0:" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 73 "q:=0.25*p^2:plot(q,p=-1..1,axes=normal,title=`re giones del plano (p,q)`);" }}{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6'-%'CURVESG6$ 7S7$$!\"\"\"\"!$\"1+++++++D!#;7$$!1nmm;p0k&*F-$\"1))4j<'znG#F-7$$!1LL$ 3F-7$$!1mmm\"4 m(G$)F-$\"16CC:'3Ut\"F-7$$!1ML$3i.9!zF-$\"1`H[zW!3c\"F-7$$!1nm;/R=0vF- $\"1gS)ej%>39F-7$$!1++]P8#\\4(F-$\"1?Gj>xWe7F-7$$!1nm;/siqmF-$\"15UU#o JC6\"F-7$$!1++](y$pZiF-$\"1D:f:%>%e(*!#<7$$!1LLL$yaE\"eF-$\"1p>b2*QnW) Fen7$$!1nmm\">s%HaF-$\"14/-q?zptFen7$$!1+++]$*4)*\\F-$\"12w6y#\\_C'Fen 7$$!1+++]_&\\c%F-$\"1Tci3Tq4_Fen7$$!1+++]1aZTF-$\"101&3OB0I%Fen7$$!1nm ;/#)[oPF-$\"1FeBOeP]NFen7$$!1MLL$=exJ$F-$\"1E)o2%)z=v#Fen7$$!1MLLL2$f$ HF-$\"1-GtNu87$$!1^omm;zr)*F]s$\"1F=vnnIOC!#A7$$\"1ixy1bqoF]r7$$\"1)****\\_qn2#F-$\"1# >xL&RCy5Fen7$$\"1)***\\i&p@[#F-$\"1e.DM9HS:Fen7$$\"1)****\\2'HKHF-$\"1 *4ly1!f\\@Fen7$$\"1lmmmZvOLF-$\"1y\"=K4$[$y#Fen7$$\"1+++]2goPF-$\"1S^A .ze]NFen7$$\"1KL$eR<*fTF-$\"1%>R]=GiK%Fen7$$\"1+++])Hxe%F-$\"1b_9%H;=E &Fen7$$\"1lm;H!o-*\\F-$\"1P2t]PpDiFen7$$\"1****\\7k.6aF-$\"19-Nk(G)>tF en7$$\"1mmm;WTAeF-$\"1e>&)4u7v%)Fen7$$\"1****\\i!*3`iF-$\"1z#*)eq!Gv(* Fen7$$\"1MLLL*zym'F-$\"1MP8qb^66F-7$$\"1LLL3N1#4(F-$\"1Le:?TVd7F-7$$\" 1mm;HYt7vF-$\"1+q?S&H5T\"F-7$$\"1*******p(G**yF-$\"1#G%=a'o*f:F-7$$\"1 mmmT6KU$)F-$\"1muw]!e)RF-7$$\"1++]i`1 h\"*F-$\"1K**Rkz7)4#F-7$$\"1++]P?Wl&*F-$\"1/$>V.UuG#F-7$$\"\"\"F*F+-%' COLOURG6&%$RGBG$\"#5F)F*F*-%*AXESSTYLEG6#%'NORMALG-%&TITLEG6#%9regione s~del~plano~(p,q)G-%+AXESLABELSG6$Q\"p6\"%!G-%%VIEWG6$;F(Fhz%(DEFAULTG " 2 321 321 321 2 0 1 0 2 9 0 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 10030 10061 10056 10074 0 0 0 20530 0 12020 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 2147 0 0 0 0 0 0 0 }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 207 "Las 6 regiones d el diagrama de estabilidad, para este sistema de ecuaciones, vienen da das por las diferentes regiones del plano (p,q) determinadas por los \+ ejes coordenados p y q y la par\341bola r=0 (1-> 6)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 91 "Dichas regiones corresponden a los diferentes tipos \+ de puntos cr\355ticos del diagrama (A->F):" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 " \+ (Ej. a b c d)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 " --------------------------------------------------- ------------------" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 108 " 1.- q>0, p<0, r<0. (ej. 0 , 1 , -2, -1) A. Punto cr \355tico estable, centro." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 112 " 2 .- q>0, p>0, r<0. (ej. 0 , 1, -2, 1 ) B. \+ Punto cr\355tico inestable, nodo. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 132 " \+ 3.- q>0, p=0. (ej. 0 , -1, 1, 0) \+ C. Punto cr\355tico asint\363ticamente estable, espiral." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 113 " 4.- q>0, p<0, r>0. (ej. -3, -1, 1, 0) D. Punto cr\355tito inestable, es piral." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 125 " 5.- q>0, p>0, r>0. \+ (ej. 2, 0, 0, 1) E. Punto cr\355tico inestable, punto de silla. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 136 " \+ 6.- q<0. (ej. 0, 1, 1, 0) \+ F. Punto cr\355tico asint\363ticamente estable, nodo." }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 260 11 "Ejercicio: " }{TEXT -1 84 "Esta blecer la correspondencia entre las 6 regiones y los 6 tipos de puntos cr\355ticos." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 71 "Para ello, realizar los \+ pasos siguientes para cada una de las regiones:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 112 " 1) Asignar val ores a las constantes a, b, c y d para que el punto (p,q) est\351 en l a regi\363n deseada (se " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 61 " \+ pueden usar los suministrados en el ejemplo).." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 57 " 2) Asignar condiciones iniciales a la variable \+ " }{XPPEDIT 18 0 "ini = \{[t0, x(t0), y(t0)]\};" "6#/%$iniG<#7%%#t0G-% \"xG6#F'-%\"yG6#F'" }{TEXT -1 28 " para destacar en la gr\341fica" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 60 " las soluciones que pasan \+ por ese/os punto/s." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 " 3) Dibuj ar el campo de direcciones resultante en un entorno alrededor del punt o (0,0): " }{HYPERLNK 17 "DEplot" 2 "DEplot" "" }{TEXT -1 3 " , " } {HYPERLNK 17 "DEplot3d" 2 "DEplot3d" "" }{TEXT -1 15 " \+ " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 112 " 4) Dependiendo del compor tamiento observado en las soluciones, asignar la region al correspond iente " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 38 " tipo de punto c ririco." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 261 7 "Ejemplo" }{TEXT -1 98 ": Para obtener una gr\341fica correspondient e a la region 1, elegimos, por ejemplo, los valores dados" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 1 " " }{XPPEDIT 18 0 "a = 0,b = 1,c = -2,d = -1;" "6&/ %\"aG\"\"!/%\"bG\"\"\"/%\"cG,$\"\"#!\"\"/%\"dG,$\"\"\"F-" }{TEXT -1 18 " para los cuales " }{XPPEDIT 18 0 "p = -1,q = 2,r = -7;" "6%/%\"p G,$\"\"\"!\"\"/%\"qG\"\"#/%\"rG,$\"\"(F'" }{TEXT -1 2 ". " }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 78 "Elegimos las condiciones iniciales y dibujamos (en dos o en tres dimensiones)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 50 "a:=0:b:=1:c:=-2:d:=-1:p:=a+d ;q:=a*d-b*c;r=p^2-4*q;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 "ini:=\{[0 ,0,1],[0,0,-1],[0,1,0],[0,1,0]\}:" }{TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 121 "DEplot([ec1,ec2],[x(t),y (t)],t=0..5,x=-2..2,y=-2..2,ini,color=blue,linecolor=red,stepsize=0.2, title=`punto cr\355tico ???`);" }}{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 126 "DEplot3d([ec1,ec2],[x(t),y( t)],0..5,x=-2..2,y=-2..2,ini,color=blue,linecolor=red,stepsize=0.2,tit le=`punto cr\355tico ??? (3D)`);" }}{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 " Como se puede observar, el comportamient o de estas soluciones corresponde a un " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 262 72 " C. Punto critico asintoticamente estable es piral " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 " " }}}}}{MARK "1 0" 5 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 }