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condicionamiento:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "Hemos visto en la teoria que la cantidad c(A)=||A|| || " } {XPPEDIT 18 0 "A^(-1);" "6#)%\"AG,$\"\"\"!\"\"" }{TEXT -1 30 "|| o c ondicionamiento de la" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "matriz A juega \+ un papel fundamental a la hora de esperar un buen resultado en la " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 88 "resolucion de un sistema lineal. Dicho pa rametro actua como un magnificador tanto de los" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 91 "errores de redondeo, asi como los posibles errores al esp ecificar el vector independiente " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 7 "o l a " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 86 "matriz A del problema. Vamos a \+ intentar aclarar por que un numero de condicion alto " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 24 "es sintoma de problemas." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 " Primeramente definimos una s erie de matrices 2x2 para experimentar con ellas:" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 51 "Q:= matrix(2,2,[0.5,-0.866 025404,0.866025404,0.5]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 38 "M1:=ma trix(2,2,[0.6, -1.4, 0.9, 0.3]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "M2:=matrix(2,2,[-0.933, -0.539, 0.616, 0.266]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "M3:=matrix(2,2,[0.780, 0.563, 0.913, 0.659 ]):" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "S:= matrix(2,2,[0.5, 1, 1, 2 ]):" } }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 " Probemos a calcular su condi cionamiento, para varias normas: " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 "A:=Q:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "c1:=cond(A,1): c2:=cond(A,2): " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 9 "print(A);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "print(c1,` `,c2 ); " }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 71 " \277Cu\341l son las matrices mejor y peor co ndicionadas de las anteriores?" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 42 " \277 A qu\351 tipo de matrices corresponden? " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 265 48 "Interpreta cion grafica del mal condicionamiento." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "\277Cual es la causa para que nuestro ordenador sea mas impreciso res olviendo un" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 56 "sistema si la matriz tiene un numero de condicion alto?" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 " Todavi a no podemos explicar la causa \"profunda\", pero si podemos ilustrar \+ cual " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "es el problema. Veamos una simpl e interpretacion grafica del mal condicionamiento." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "Todos sabemos que la reso lucion de un sistema lineal es equivalente a encontrar " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "el punto de corte de dos rectas (en el plano), tres \+ planos (en el espacio) o cuatro o" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "mas \+ hiperplanos (en dimensiones superiores). Por ejemplo, la solucion del \+ sistema" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "Ax=b, con" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 32 " A = " }{XPPEDIT 18 0 "matrix( [[1, -1], [1, 2]]);" "6#-%'matrixG6#7$7$\"\"\",$\"\"\"!\"\"7$\"\"\"\" \"#" }{TEXT -1 34 " b = [ 1, 0 ]" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 " corresponde al punto de interseccion de las rectas \+ \{ y = x -1 , y = -x/2 \}." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "El siguiente procedimiento recibe una ma triz A (2x2) y un vector b, resolviendo " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "\"graficamente\" el sistema Ax=b, esto es, generando un grafico co n las dos rectas " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 33 "cuya interseccion es la solucion:" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "rectas:=pro c(A,b)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 " local plt,m1,m2,c1,c2,s ,R; R:=10.0:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 " s:=multiply(inv erse(A),b):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 " m1:=-A[1,1]/A[1,2] ; c1:= b[1]/A[1,2]; " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 40 " m2:=-A[2, 1]/A[2,2]; c2:= b[2]/A[2,2]; " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 217 " \+ plt:=plot([m1*x+c1,m2*x+c2],x=s[1]-R..s[1]+R, \+ \+ y=s[2]-R..s[2]+R,color=[red,b lue]);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 " RETURN(plt);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end:" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 " Se trata de correr esta rutina para nues tras matrices y ver en que casos somos " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 84 "capaces (y con cuanta precision) de estimar \"a ojo\" la solucion \+ viendo el grafico. " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 7 "A:= M 1:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 24 "b:=vector(2,[-0.3,0.6]):" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "display(rectas(A,b));" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 13 " Se observa " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 72 "que cuanto peor es el condicionamient o mas dificil es apreciar el punto " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "de corte, al ser la pendiente de las rectas cada vez mas parecida. La pr opia anchura " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 84 "de las lineas hace que e stas se solapen en el caso de M3 (aunque como rectas ideales" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 "no solapan, eso solo ocurriria para matrices si ngulares). La misma dificultad que " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 84 "t enemos nosotros con el grosor de las lineas la tiene el ordenador con \+ la precision " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "finita. En ambos casos t enemos una cierta imprecision. Para matrices ortogonales (que " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "dan lugar a rectas con un corte perpendic ular) la imprecision causada por el \"grosor\" " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "de las lineas esta limitada a dicho grosor (cond=1), per o en el caso de matrices mal" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 51 "condicion adas como M3 puede magnificarse muchisimo." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 266 33 "Efectos del mal cond icionamiento:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "Vamos a ver que efectos \+ provoca el mal condicionamiento, primero estudiando su " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "efecto ante perturbaciones del sistema original Ax=b , para luego cuantificar los " }}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT 280 40 "da \361os producidos al invertir un sistema." }{TEXT -1 1 " " }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 56 "Efectos del mal condicionamiento al pertu rbar un sistema" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 267 78 "Partimos de un sistema Ax=b que resolvere mos, pintando los vectores x y b en " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 " el plano. A continuacion estudiaremos el efecto de perturbar el vecto r b. Para " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 71 "ayudarnos, definimos las si guientes funciones para generar aleatorios: " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "#aleat() genera un aleatorio entre -1.0 y 1.0" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "alea t:= -1.0+2.0*(rand(1000)/1000.0):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 "#rand2d(r) genera un vector al eatorio con ||v|| " 0 "" {MPLTEXT 1 0 19 "rand2d:=proc (rango)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 " local v,r;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 " v:=vector(2,[rango*aleat(),rango*aleat()] ); " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 " while (norm(v,2)>=rango)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 49 " do v:=vector(2,[rango*aleat(), rango*aleat()]);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 " od;" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 " RETURN(v);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end:" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "Partiendo de un b dado, lo perturb amos N veces aleatoriamente en un cierto rango" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "y resolvemos los correspondientes sistemas. A continuacio n representamos la" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 "nube de b's pert urbados (en azul) frente a la nube de las soluciones x's (en rojo), \+ " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 50 "comprobando el efecto de un mal condi cionamiento. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 "A:=Q:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 15 "iA:=inverse(A):" }}{PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 29 "#b:=vector(2,[0.217,0.254]): " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "b:=multiply(A,vector(2,[-0.5,0.5])): x:=multiply(iA,b ):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 "perturbacion:=2e-1: N_veces:= 80: " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "lista_b:=[seq([0,0],i=1..N_veces)]:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "lista_x:=[seq([0,0],i=1..N_veces)]:" }}{PARA 0 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 5 "R:=0:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "for i from 1 to N_veces do" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 " bp:=evalm(b+rand2d(perturbacion)) :" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 " sp:=multiply(iA,bp):" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 " R:=max(R,norm(bp),norm(sp)): " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 " lista_b[i]:=[bp[1],bp[2]]: " }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 " lista_x[i]:=[sp[1],sp[2]]: " }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 3 "od:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 100 "p1:=plot([lista_b,lista_x ],x=-R..R,y=-R..R, style=point,symbol=point,color=[blue,red], axes=bo xed):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 99 "p2:=plot([[[b[1],b[2]]],[[ x[1],x[2]]]],style=point, symbol=[circle,box],color=[black,black ]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 "display(\{p1,p2\});" }}{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 " " }}}{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 " Experimentar con diversas matrices y c on varios niveles de perturbacion. \277Que se" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "observa para los distintos condicionamientos? En efecto, \+ el numero de condicion " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 76 "actua como un \+ magnificador de las perturbaciones. Para la matriz M3 podemos " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 "comprobar que perturbaciones del orden de 0.00001 provacan una variancion de " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 76 "m as/menos 10 en las soluciones. En cambio, para una matriz como Q o M1, las " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 67 "nubes de b's (azules) y x's (roj as) tienen una dispersion similar. " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 268 74 "Cuantificacion del mal condicionamiento: perdida de cifras sig nificativas." }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 6 "En el " } {TEXT 272 162 "ejemplo anterior vimos que un sistema mal condicionado \+ es muy inestable ante perturbaciones. Sin embargo podriamos pensar que es logico que al perturbar b o la " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 273 7 " matriz " }{TEXT -1 76 "de un sistema cambiemos su solucion: al fin y \+ al cabo estamos cambiando el " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "problema . Que ese cambio sea grande o peque\361o podria suponerse un asunto p rivado " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 "de cada matriz A que no tendri a que importarnos. Lo que ocurre es que trabajando en" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 84 "precision finita estamos continuamente perturbando el \+ sistema (con una perturbacion " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "del ord en de la precision de la maquina), por lo que el comportamiento de A \+ ante" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 45 "perturbaciones es algo a tener mu y en cuenta." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 269 0 "" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 271 81 "Vamos a intentar cuantificar los peligros de u n mal condicionamiento. Como regla " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 274 83 "g eneral podemos indicar que en la resoluci\363n de un sistema con un co ndicionamiento " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 275 146 "C podemos esperar p erder unas log10(C) cifras significativas.\n\n Verifiquemos dicho aser to. Para ello haremos trampa: dada una matriz A de tama\361o " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT 276 88 "NxN partiremos de una soluci\363n conoc ida, por ejemplo x = (1,1,...,1), y calcularemos " }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT 277 82 "el b correspondiente como b=Ax. Despues, resolveremo s dicho sistema encontrando " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 278 90 "una solu ci\363n xc (x calculada). La relaci\363n entre la norma de la diferenc ia, || x-xc ||, y" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 279 74 " la de la solucio n verdadera, || x ||, sera nuestro indicador de error. " }}{PARA 3 " " 0 "" {TEXT 270 134 "La siguiente rutina recibe una matriz A y su dim ensi\363n, devolviendo dicho indicador (multiplicado por 100 para expr esarlo como un %):\n" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 159 "com prueba_error:=proc(A,n) \+ \+ " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 " local k,b,x,x c,err; " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 17 " x:=vector(n); " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 " for k from 1 to n do x[k]:=1.0; od; # x = (1,...,1)" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 52 " b:=mult iply(A,x); # hallamos b" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 " xc:=multiply(inverse(A),b); # resolvemos \+ xc" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 39 " err:=100*norm(x-xc)/norm(x) ; " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 " RETURN(err);" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "end:" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "Para probar la p erdida de precision, generaremos unas matrices especialmente mal" }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 108 "condicionadas, llamadas matrices de Hilb ert, definidas como:\n \+ " }{XPPEDIT 18 0 "H[ij] = 1/(i+j+1);" "6#/&%\"HG6#%#ijG*&\"\"\"\"\"\", (%\"iGF*%\"jGF*\"\"\"F*!\"\"" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 242 "cuyo mal condicionamiento crece muy rapidamente con su dimension. Hallaremos \+ \nel log10() de dicho condicionamiento y veremos que efectivamente deb emos usar \nDigits mayor que dicho valor para evitar que el error sea \+ del orden del 100% o mayor " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "(indicando que hemos perdido toda la precisi\363n):\n" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 33 "N:=4: H:=hilbert(N): C:=cond(H): " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "Digits:=10:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "perdidos:=log10(1.0*C):" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 66 "printf(\"\\n N %d : Cond=%.0f => \+ %.1f Dig perdidos\",N,C,perdidos);" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "err:=comprueba_error(H,N):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 "printf(\" Digits %d -> Error = \+ %04.1f%%\",Digits,err); " }}{PARA 6 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 6 " " 1 "" {TEXT -1 39 " N 4 : Cond=28375 => 4.5 Dig perdidos" }}{PARA 6 "" 1 "" {TEXT -1 29 " Digits 10 -> Error = 00.0%" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 80 "Re petir los calculos para diversos condicionamientos (aumentando N) y co mprobad " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 84 "que por ca da digito extra (por encima de log10(C) ) venimos a ganar aproximadame nte " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 48 "un factor 10 (logico) en la preci sion obtenida. " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 0 "" }}}}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT 282 0 "" }}{SECT 1 {PARA 263 "" 0 "" {TEXT 281 57 " Mal condic ionamiento, normas, elipses y excentricidades." }{TEXT -1 0 "" }} {PARA 265 "" 0 "" {TEXT -1 83 "En la definicion del condicionamiento \+ de una matriz aparece su norma, y hemos oido" }}{PARA 266 "" 0 "" {TEXT -1 82 "hablar de que la norma de una matriz A es la mayor magnif icaci\363n que produce en un" }}{PARA 267 "" 0 "" {TEXT -1 85 "vector \+ de norma unidad. Vamos a escribir una peque\361a rutina que recibe un a matriz A " }}{PARA 268 "" 0 "" {TEXT -1 81 "de tama\361o 2x2 y devue lve un grafico donde hemos representado, por una parte, los " }}{PARA 269 "" 0 "" {TEXT -1 87 "vectores de radio unidad (circunferencia para la norma 2), y por otra, el resultado de " }}{PARA 270 "" 0 "" {TEXT -1 40 "aplicar la matriz A a dichos vectores. \n" }}{EXCHG {PARA 271 " > " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "elipses := proc(A)" }}{PARA 272 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 " local x,Ax,t,circ,elipse,plt,r;" }}{PARA 273 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 " r:=1.6;" }}{PARA 274 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 55 " x :=vector(2,[sin(t),cos(t)]); #Circulo parametrico " }}{PARA 275 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 " Ax:=multiply(A,x); #multiplicamo s por A" }}{PARA 276 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 " circ:=[x[1],x[2],t=0. .2*Pi]; " }}{PARA 277 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 33 " elipse:=[Ax[1],Ax [2],t=0..2*Pi];" }}{PARA 278 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 56 "plt:=plot([cir c,elipse],-r..r,-r..r,color=[red,blue]); " }}{PARA 279 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 12 "RETURN(plt);" }}{PARA 280 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 4 "e nd:" }}}{PARA 281 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{PARA 282 "" 0 "" {TEXT -1 208 " Apliquemos esta rutina a las diferentes matrices definidas (Q, M 's y S) a la vez\nque recordamos su condicionamiento. \277Hay diferen cias visuales apreciables\nentre los resultados de la matriz M3 y la m atriz S?" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 283 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " } {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{EXCHG {PARA 284 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 "A:=M1: " }}{PARA 285 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 89 "printf(\"Condicionamiento = % .1f\\n\",cond(A,2)); display(elipses(A)); " } {TEXT -1 0 "" }}{PARA 286 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 287 "" 1 "" {TEXT -1 22 "Condicionamiento = 1.6" }}{PARA 288 "" 1 "" {TEXT -1 0 " " }}}{PARA 289 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 46 "Vemos (y se puede demostrar) que el resultado " }{TEXT 260 37 "de apl icar A es una elipse. \277Con que " }}{PARA 290 "" 0 "" {TEXT 262 84 " propiedad de la elipse resultante podemos asociar el condicionamiento \+ de una matriz?" }{TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 291 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{SECT 1 {PARA 292 "" 0 "" {TEXT -1 71 " El mal condicionam iento: trato desigual en las distintas direcciones." }}{PARA 293 "" 0 "" {TEXT -1 170 " En efecto, el condicionamiento de una matriz corr esponde a la excentricidad de la\nelipse resultante. Condicionamientos altos implican excentricidades altas, elipses muy" }}{PARA 294 "" 0 " " {TEXT -1 311 "achatadas, es decir que la matriz A trata desigualment e unas direcciones frente a otras.\n El mejor caso corresponde a la m atriz Q, cuya elipse final es tambien ``redonda''\ny por lo tanto de e xcentricidad 1 (Q es ortogonal, y por lo tanto corresponde a una\nmatr iz de giro, no deformando el circulo inicial). \n " }}{PARA 295 "" 0 "" {TEXT -1 144 " Ahora bien, \277qu\351 relaci\363n tiene esta inter pretaci\363n con la definicion del condicionamiento como producto de l a norma de A y la de su inversa? " }}{PARA 296 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" } }{PARA 297 "" 0 "" {TEXT -1 82 "La norma de A es inmediatamente asocia ble al semi-eje mayor de la elipse, ya que " }}{PARA 298 "" 0 "" {TEXT -1 83 "este corresponde a la maxima amplificaci\363n conseguida \+ por A sobre vectores unidad. " }}{PARA 299 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {EXCHG {PARA 300 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "display(elipses(M2));" } {TEXT -1 0 "" }}{PARA 301 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 302 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 303 "" 0 "" {TEXT -1 69 "\277 A qu\351 podemos asociar en esta grafica la norma de la inversa de A? \+ " }}{PARA 304 "" 0 "" {TEXT -1 81 "Pensad para ello cual es la mayor magnificaci\363n conseguida al hacer el recorrido" }}{PARA 305 "" 0 " " {TEXT -1 76 " inverso, de la elipse de llegada (azul) a la circunfer encia inicial (roja)." }}{PARA 306 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{SECT 1 {PARA 307 "" 0 "" {TEXT 283 9 "Solucion " }{TEXT -1 36 "(aguardad 15 s eg antes de rendiros)." }}{PARA 308 "" 0 "" {TEXT -1 76 "El mayor esfu erzo al volver atr\341s es conseguir que el eje mas peque\361o de la \+ " }}{PARA 309 "" 0 "" {TEXT -1 79 "elipse vuelva al radio 1 inicial. P or lo tanto la m\341xima magnificacion (norma) " }}{PARA 310 "" 0 "" {TEXT -1 73 "de la inversa de A corresponde a 1/(semieje menor de la e lipse). Esto es:" }}{PARA 311 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 312 "" 0 " " {TEXT -1 32 " cond(A) = ||A || || " }{XPPEDIT 18 0 "A^(-1 );" "6#)%\"AG,$\"\"\"!\"\"" }{TEXT -1 10 "|| = " }{XPPEDIT 18 0 " Max(Ax)/Min(Ax);" "6#*&-%$MaxG6#%#AxG\"\"\"-%$MinG6#F'!\"\"" }{TEXT -1 4 " = " }{XPPEDIT 18 0 "Semieje_mayor/Semieje_menor;" "6#*&%.Semie je_mayorG\"\"\"%.Semieje_menorG!\"\"" }}{PARA 313 "" 0 "" {TEXT -1 0 " " }}{PARA 314 "" 0 "" {TEXT -1 80 "Ejercicio: Verificad esto escribie ndo una rutina similar a la que generaba " }}{PARA 315 "" 0 "" {TEXT -1 78 "las elipses para que halle el maximo y el minimo de la di stancia al origen de " }}{PARA 316 "" 0 "" {TEXT -1 78 "los puntos de \+ la elipse (el vector Ax en la rutina). Para ello definiremos la" }} {PARA 317 "" 0 "" {TEXT -1 11 "expresion :" }}{PARA 318 "" 0 "" {TEXT -1 29 " " }{XPPEDIT 18 0 "dist_origen := s qrt(Ax[1]^2+Ax[2]^2);" "6#>%,dist_origenG-%%sqrtG6#,&*$&%#AxG6#\"\"\" \"\"#\"\"\"*$&F+6#\"\"#\"\"#F/" }}{PARA 319 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }} {PARA 320 "" 0 "" {TEXT -1 75 "y hallaremos su maximo/minimo respecto a la variable parametrica t usando " }}{PARA 321 "" 0 "" {TEXT -1 69 "las funciones maximize(dist_origen , t) -> Semieje mayor. " }}{PARA 322 "" 0 "" {TEXT -1 81 " \+ minimize (dist_origen , t) -> Semieje menor." }}{PARA 323 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }}{PARA 324 "" 0 "" {TEXT -1 79 "Su cociente debe coinc idir con el condicionamiento (\277con respecto a que norma?)" }}{PARA 325 "" 0 "" {TEXT -1 26 "de la matriz en cuestion. " }}}}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{SECT 1 {PARA 3 "" 0 "" {TEXT 256 47 " El residuo y por que no podemos fiarnos de el." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " \+ " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 86 " Cuando en el ejemplo anterior partia mos de una soluci\363n conocida x=(1,1,1,...,1) era " }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 86 "sencillo determinar si estabamos m\341s o menos equivoc ados. Obviamentes, en la pr\341ctica " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 90 " no conocemos la solucion y no es tan f\341cil determinar si una soluci \363n es mejor o peor que " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 53 "otra. Un en foque ser\355a, dada una soluci\363n estimada, " }{XPPEDIT 18 0 "x[c] ;" "6#&%\"xG6#%\"cG" }{TEXT -1 88 " , calcular su residuo:\n \+ " }{XPPEDIT 18 0 "r = Ax[c]-b;" "6#/%\"rG,&&%#AxG6#%\"cG\"\"\"%\"bG!\"\"" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 166 "En el caso ideal (si la x calculada es realmente \+ la soluci\363n) dicho residuo debe\nanularse. La idea seria que cuanto menor sea el residua mas se pareceria la solucion " }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 77 "calculada, xc, a la real, x. Pongamos a prueba este m \351todo con un ejemplo. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 91 "Sea el siste ma A x = b, donde A es la matriz definida antes como M3 y b = [0.217, 0.254]. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "Nos dan dos posibles solucio nes (que suponemos procedentes de dos metodos distintos):" }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 74 " \+ x1 = ( 0.999, -1.001) " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 73 " \+ x2 = (-0.222, 0.693)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 11 "Di gits:=10:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 27 "b:=vector(2,[0.217,0.2 54]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 "A:=M3:" }}{PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 28 "x1:=vector(2,[0.999,-1.00]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "x2:=vector(2,[-0.222,0.693]):" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 69 "Se trata de decidir cual \+ de ellas es mejor. Calculemos sus residuos:" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }} {EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "r1:=multiply(A,x1) - b:" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "r2:=multiply(A,x2) - b:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "print f(\" ||r1||=%3.1e \",norm(r1)); " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 36 "printf(\" ||r2||=%3.1e\\n\",norm(r2));" }}{PARA 6 "" 1 "" {TEXT -1 17 " ||r1||=9.1e-04 " }}{PARA 6 "" 1 "" {TEXT -1 16 " ||r2||=1.0e -06" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 0 "" } {MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 79 "Vemos que el residuo r2 es mucho menor (unas 1000 veces) que r1, lo que parece " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "indicar que x2 es la solucion mas certera. Ca lculemos la verdadera solucion: " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT -1 0 "" } }{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 26 "x:=multiply(inverse(A),b); " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 32 "dx1:=norm(x-x1):dx2:=norm(x-x2) :" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 53 "printf(\" ||dx1||=%3.1e\\n \+ ||dx2||=%3.1e\",dx1,dx2);" }{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%\"xG-%'vectorG6#7$$\"&++\"!\" %$!&++\"F+" }}{PARA 6 "" 1 "" {TEXT -1 18 " ||dx1||=1.0e-03" }} {PARA 6 "" 1 "" {TEXT -1 18 " ||dx2||=1.7e+00" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }{TEXT 261 9 "Resultado" }{TEXT -1 70 ": x1 esta unas 1700 veces mas cerca de x que x2 y sin embargo A x1 " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 " \+ esta 1000 veces mas lejos de b que el correspondiente Ax2. " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 25 "\277 Que puede estar pasando?" }}{SECT 1 {PARA 4 "" 0 "" {TEXT -1 13 " Expl icacion " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 259 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }{TEXT 284 84 "El problema es que con el residuo medimos difer encias en el espacio de llegada. Por" }}{PARA 261 "" 0 "" {TEXT 285 80 "el contrario, el error con respecto a la solucion debe medirse en \+ el espacio de " }{TEXT 286 8 "partida " }}{PARA 260 "" 0 "" {TEXT 287 86 "(y ya hemos visto la influencia que una matriz mal condicionada pu ede tener al pasar " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 15 "de uno a otro)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 " Repres entemos las direcciones de los vectores residuo del problema anterior, " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "r1 y r2, superponiendolas con la eli pse generada por la matriz del sistema, M3 :" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 4 " " }}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 6 "A:=M3:" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 8 "r:=2e-5:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 22 "# Normalizamos r1 y \+ r2" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "r1n:=evalm(r*r1/norm(r1,2)): \+ " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 28 "r2n:=evalm(r*r2/norm(r2,2)):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "#Generamos dos flechas con direcciones r1 y r2" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "a1:=arrow([0,0],r1n,5e-7,2e-6,0.07,color=blue): " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 47 "a2:=arrow([0,0],r2n,5e-7,2e-6,0 .07,color=red):\n" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 29 "x:=vector(2,[cos(t),sin(t)]):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 18 "Ax:=multiply(A,x):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "elip:=[Ax[1],Ax[2],t=0..2*Pi]:" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "plt:=plot(elip,x=-r..r,-r..r,colour=green):" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 21 "display(\{plt,a1,a2\});" }{TEXT -1 0 "" } }{PARA 13 "" 1 "" {TEXT -1 0 "" }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " } {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 77 " Al ser la elipse (e n verde) de M3 muy excentrica hemos tenido que aumentar " }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 79 "mucho la escala para poder distinguir su ancho. Se observa que la direccion del" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "residuo \+ r1 (vector azul) es casi coincidente con el semieje mayor de la elips e " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 70 " mientras que r2 (vector rojo) tien e una gran componente en direccion " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "pe rpendicular. Ahi radica el problema: x1 consiste en una peque\361a \+ variacion" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "(||dx_1|| = 0.001) con respe cto a x, pero en una direccion en la que dicha variacion " }}{PARA 0 " " 0 "" {TEXT -1 87 "se mantiene en el espacio de llegada ( || r_1|| \+ = 0.001). Por el contrario x2 supone " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 " una gran variacion con respecto a x ( ||dx_2|| = 1.5), pero en dire ccion diferente, " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "que resulta reducida en un factor similar al condicionamiento de M3 (||r_1|| = 1e-6). " } }{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "De nuevo, el problema reside en el desig ual tratamiento de los distintos ejes. De " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 81 "haber usado una matriz con una elipse poco excentrica nos asegu rariamos de que a " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 83 "perturbaciones simi lares en un dominio le corresponden perturbaciones similares en " }} {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 9 "el otro. " }}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 1 " " }{MPLTEXT 1 0 1 " " }{TEXT -1 2 " " }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}}{PARA 3 "" 0 "" {TEXT 257 0 "" }}}{MARK "9 1" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 }